§2.4　矩阵的分块

在矩阵的运算中，对于行数和列数较大的矩阵，可以考虑将它们进行分块，将大矩阵的运算转化成小矩阵的运算.

所谓矩阵的分块，就是用若干条纵线和横线把一个矩阵A分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块作为元素，这种形式上的矩阵称为分块矩阵.对于一个矩阵，可以给出多种分块的方法.

例如，将3×4矩阵

分成子块的分法很多，下面举出其中四种分块形式：

分法（1）可记为

其中

即A11，A12，A21，A22为A的子块，而A形式上则以这些子块为元素的分块矩阵.分法（2）及分法（3）的分块矩阵很容易写出.

注意：　矩阵A本身就可以看成一个只有一块的分块矩阵.

以下列出分块矩阵的几种运算：

（1）设A，B均为m×n矩阵，将A，B按同样的方式分块，即得分块矩阵

其中，Aij与Bij的行数相同、列数相同，则

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，分块成

其中，Ai1，Ai2，…，Ait的列数分别等于B1j，B2j，…，Bij的行数，那么

其中，（i=1，2，…，s；j=1，2，…，r）.

（4）设

注意：　分块矩阵转置时，不但要将子块行、列互换，而且行、列互换后的各个子块都应转置.

（5）设A为n阶矩阵，A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即

则A为分块对角矩阵，其行列式为

|A|=|A1||A2|…|An|.　　（2-17）

若|Ai|≠0（i=1，2，…，s），则|A|≠0，易求得

例1　

解　把A，B分块成

例2　设，求A-1.

所以

例3　设A为m×n矩阵，C为n×p矩阵，则AC=O的充分必要条件是C的各列均是齐次线性方程组Ax=O的解.

证　将矩阵C分块为C=（c1，c2，…，cp），其中ci是C的第i列，于是由分块矩阵的乘法运算得

AC=A（c1，c2，…，cp）=（Ac1，Ac2，…，Acp），

所以

AC=O⇔（Ac1，Ac2，…，Acp）=（0，0，…，0）

⇔Ac1=0，Ac2=0，…，Acp=0

⇔c1，c2，…，cp是齐次线性方程组Ax=0的解.