2.4 控制网精度估算

2.4.1 基线向量的方差阵估算方法

2.4.1.1 按标称精度平均分配

按标称精度平均分配到三个方向来估算GNSS基线向量的方差阵是最简单的方法，但也是最不严密的一种方法。依据标称精度计算GNSS边长方差，其计算公式为

则GNSS基线向量三个方向的方差为

式中：a、b分别为GNSS接收机边长测量固定误差和比例误差因子；s为基线长度。

2.4.1.2 通过方差-协方差阵传播律估算

(1)二维基线向量的方差-协方差阵估计。

二维基线向量是平面向量，根据标称精度计算 GNSS边长方差公式，见式（2.41）。

方位角方差为

式中:c、d分别为GNSS接收机方向测量固定误差和比例误差因子；s为基线长度。

根据

式中：α是GNSS基线向量的方位角。

对式(2.44)、式(2.45)两式进行线性化得

根据方差-协方差传播律，可得GNSS基线向量观测值的方差-协方差阵为

(2)三维基线向量方差-协方差阵估计。

在二维平面向量的基础上，在式(2.46)中加入高程因子，则变为

则Δx、Δy、Δh的方差-协方差阵为

又根据站心坐标系转换成空间直角坐标系的公式

式中：B、L分别为大地纬度和经度，可由空间直角坐标x、y、z转换得到；R为旋转矩阵。

令D_Δxyh=，则根据协方差传播律，可得三维GNSS基线，根据式 （2.50）则可将站心坐标系下的协方差转换为空间直角坐标系下协方差关系，即

令D_Δxyz=，则有

2.4.1.3 通过GNSS历书估计基线向量方差阵

通过历书得到的卫星概略位置，顾及地面遮挡条件，进行卫星可见性分析，以可见卫星的图形结构及测站点概略位置坐标估计GNSS网基线向量方差阵。此过程模拟载波相位二次差分基线向量解算过程，但只关注精度评价计算部分。

（1）误差方程列立。

如图2.1所示，设在基线两端测站i、j同步观测的卫星为k₁和k₂，并以k₁为参考卫星，则可得到站星二次差分的观测方程为

经转化即可得到纯量的误差方程

其中

由于此处只关注基线向量的精度，式(2.64)为常量，所以对其不予考虑。

（2）基线向量方差阵计算。

上面讨论的是任意一历元t_i，测站i、j和卫星k₁、k₂的双差观测值的误差方程。

当t_i历元两测站同步观测的卫星数量为n^t_i，则可得到m=n^t_i-1个误差方程，相应的引入m个初始整周未知数，即t_i历元有3+m个参数。

令υ=Bx+L，则υ=（υ₁,υ₂,…，υ_m）^T；x=（δx,δy,δz,δN₁,δN₂,…，δN_m）^T;L=（W₁,W₂,…，W_m)^T。

其中，B矩阵中各数据可由式(2.61)～式(2.63)求得。根据N=B^TPB可得误差方程法方程系数阵。由Q=N^-1即可得测站i、j间基线向量的协方差阵。又由可得D，而，其中，r为多余观测。

（3）双差观测值先验权阵P的确定。

1)非差随机模型。

假设接收机i在某历元t_i时刻观测了颗卫星，可获得个非差L1载波相位观测值为

通常认为这些观测值间在统计上互不相关，这样，他们的权阵或先验方差-协方差阵就为对角阵。对于方差-协方差阵来说，非主对角线元素为0，主对角线元素为所对应观测值的方差，即

式中：diag（…）表示对角阵；为非差载波相位观测值的先验方差。

常用的确定非差载波相位观测值先验方差的方法有等精度法、高度角法、信噪比法。

等精度法认为所有观测值的精度相同，它们的先验方差均相等，在实际进行数据处理时，可设为任意值，为方便起见，往往令它们等于1。

高度角法是根据卫星信号的高度角来确定观测值的先验方差，其具体形式很多。通常认为信号高度角越低，观测值的先验方差越大。其中一种形式为

式中：E为信号(卫星)高度角。

2)单差随机模型。

单差载波相位观测值是由两个测站的非差载波相位观测值相互求差所形成的

认为各卫星的(对测站)单差观测值间无统计相关性，则

因为

由误差传播率，可得

3)双差随机模型。

双差载波相位观测值是由不同卫星间、单差载波相位观测值相互求差所形成的，这里假定所有卫星都相对于一个参考星 （令为第一颗）。

令

因为

对于对角线上的元素，由误差传播率，可得

对于非对角线上的元素

由上可求出。同时由得到观测值先验权阵。

2.4.2 精度估算

2.4.2.1 自由网平差成果

假定控制网中有A、B两点，其空间坐标分别为 （）和 （），又令

X⁰为的近似值，为X₀的改正量，其他类推。

将A、B两点组成基线形式为

将式(2.77)组成残差关于基线AB的残差方程，即

将所有基线按上式组成残差方程，并据方差、协方差阵估算方法确定出协方差矩阵，各协方差矩阵之间线性无关。选定自由网平差起算点，进行精度估算。

2.4.2.2 一点一方向平差

一点一方向是在平面基础上，仅提供控制网内某一个点位的平面坐标，同时指定控制网内任何一条边的方位，作为整个控制网的起算数据。该平差方位可以最大限度地挤出控制网内某一特定方向的误差，为工程施工提供更加精确的平面坐标。其理论如下：

仿式(2.78)，列出平面下控制网点各基线的残差方程，可得

平面基线向量权阵由空间三维协方差阵转换可得。同时指定方位，即

将式（2.80）按泰勒公式一阶展开可得

令式(2.81)左侧第一项为

则式(2.81)可表达为

将(式2.82)转化为残差方程,即

按式（2.83）将所有平面基线联立并以式（2.83）中v_α=0作为限制条件进行平差即可获得一点一方向平差成果。

2.4.3 方向中误差估算

2.4.3.1 方向中误差概念

传统控制网边长测量的方向，通常采用坐标方位角来表示，边长的方向误差控制，通常采用方位角中误差这一精度指标来衡量，对于方位角中误差的讨论，这里不再详述，可参考有关文献。由于GNSS测量获得的是各条控制边的空间三维基线向量，它包括基线距离又包括方向。目前，对GNSS控制网基线向量的方向误差缺少较系统地讨论，采用高精度GNSS技术进行超长隧洞及大型水利水电工程控制网测量，尤其是GNSS定位技术应用于带状水利水电工程控制网测量中，对于GNSS控制网基线向量方向的控制研究就显得十分重要。为此，我们提出方向中误差这一概念，其目的是为了能更好地研究分析当采用GNSS定位技术进行控制网测量时，各基线向量方位的变化情况以及精度控制。所谓方向中误差，实质上就是坐标方位角中误差，定义为在空间直角坐标系下，空间三维基线向量边偏移真实方位的数值。

GNSS控制网设计时，可以在WGS-84坐标系统下进行控制点三维精度估算，然后应用精度转换公式转换到二维，也可以直接估算控制点的二维精度。GNSS控制网的布网方案设计中，估算设计GNSS基线向量的方差阵是研究GNSS控制网的方向中误差的难点。研究GNSS控制网基线向量的方差阵，大体可以从3个方面着手：①三个方向按标称精度平均分配；②利用标称精度，通过方差-协方差传播律计算；③通过GNSS历书估计基线向量方差阵。

2.4.3.2 误差估算

设GNSS网二维平差的误差方程式为

式中：V为改正数向量；X为坐标未知数向量(二维平面的坐标)；l为二维观测向量(三维观测向量到二维投影面上的投影)。

随机模型为

式中：P为二维观测值的权阵；为先验方差因子。

根据间接平差原理，则法方程系数矩阵为

于是，GNSS控制网的控制参数(即各待定点的坐标)的协因数矩阵为

根据GNSS控制网的基准设计和网形设计可以确定误差方程系数矩阵B。而权阵P的设计可以根据GNSS接收机的标称精度来确定，根据GNSS控制网基线向量的方差阵估算方法可以计算出基线向量的方差阵。当单位权方差为，则可以定出各基线向量的权阵P，即

根据最小二乘原理，协因数矩阵的对角线元素即为各坐标分量的协因数

因此，GNSS控制网中各设计点的坐标中误差和点位中误差估值为

式中：为验前单位权中误差。

同样可以计算出点位误差椭圆的长半轴、短半轴和长轴方位角，它们为

设任意基线边两端点为P_i、P_j，则这两端点的相对位置可通过其坐标差来表示，即

根据协因数传播律可以推导出上面函数的权倒数和相关权倒数

如果P_i和P_j两点中有一个点(例如为P_i点)为不带误差的已知点，则有

根据式 （2.94），按相关公式可计算出相对点位误差和相对误差椭圆元素。

同样，边长权函数式为

根据协因数传播律得边长中误差为

坐标方位角函数式的线性形式为

式中：a_ij、b_ij的计算公式与方向误差方程式系数相同，根据协因数传播律得