2.1 控制系统的时域数学模型
2.1.1 控制系统的微分方程
建立控制系统数学模型的方法主要有两种：机理分析法和实验法。机理分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，依据其所遵循的基本定律，列写出相应的运动方程，最后得出有关输入与输出之间关系的数学表达式；实验法是给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，该方法也被称为系统辨识法。
微分方程是在时域中描述控制系统的运动状态和动态性能的数学模型。下面介绍利用机理分析法建立控制系统时域数学模型即微分方程的一般步骤。
1）根据系统或元件的工作原理及变量之间的关系，确定输入量、输出量和中间变量。
2）根据系统（或元件）工作中所遵循的基本物理规律或化学规律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程，即微分方程。
3）联立方程，消去中间变量，得到输入量与输出量之间关系的微分方程。
4）标准化。将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入流有关的各项放在方程的右边，方程两边的导数项按降幂排列。
下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。
【例2-1】 列出图2-1所示的RLC电路网络的微分方程。
解：1）确定输入、输出量。由图2-1可知，RLC网络的输入量为电压ui（t），输出量为电容C两端的电压uo（t）。
2）列出微分方程。根据基尔霍夫定律列写回路方程为
图2-1 RLC电路网络
式中，i（t）为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。
3）消去中间变量。将上述两式中的回路电流i（t）消去，经整理得到
显然，这是一个二阶线性微分方程，即图2-1所示RLC无源网络的时域数学模型。
【例2-2】 设有图2-2所示的由惯性负载和黏性摩擦系数阻尼器构成的机械转动系统，试列写以力矩Mi为输入变量、角速度ω为输出变量的系统微分方程。
图2-2 机械转动系统
解：依据牛顿定律
，可写出下列方程：
式中，fω为阻尼器的黏性摩擦阻尼力矩，它与角速度ω成正比，f为阻尼系数；J为惯性负载的转动惯量。将该方程写成标准形式，求得系统的微分方程为
若以负载转角为系统的输出量，即有
，则系统的微分方程为
【例2-3】 设有图2-3所示的弹簧-质量-阻尼器系统，其中，K为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数，m为小车质量。若忽略小车与地面的摩擦，试列写以外力F（t）为输入、以位移y（t）为输出的系统的微分方程。
图2-3 弹簧-质量-阻尼系统及小车受力图
解：这是一个力学系统，对小车进行隔离体受力分析，如图2-3所示。在水平方向应用牛顿第二定律可写出
若令T=
，
，则式（2-4）可写为
2.1.2 控制系统的线性近似
在参数的某些范围内大多数物理系统均可以呈现出线性特性，若对参数范围不加限制时所有的系统几乎都是非线性系统，其分析和设计过程都要复杂得多，因此在系统自身特性和对系统控制精度允许的条件下，对非线性系统进行近似线性处理，从而简化分析和设计过程。
1. 线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统具有两个重要性质，即叠加性和均匀性（亦称齐次性）。所谓叠加性，指当多个输入信号共同作用于系统时，系统总的输出信号等于每个输入单独作用时产生的输出信号之和；所谓齐次性，指当系统的输入信号增大若干倍时，系统的输出信号也相应增大同样的倍数。
例如，设有线性微分方程为
当r（t）=r1（t）时，上述方程的解为c1（t）；当r（t）=r2（t）时，上述方程的解为c2（t）。如果r（t）=r1（t）+r2（t），容易验证方程的解必为c（t）=c1（t）+c2（t），即为叠加性。当R（t）=Kr1（t）时（K为常数），则方程的解为c（t）=Kc1（t），即为齐次性。因此，对线性系统进行分析和设计时，若同时有几个输入信号施加于系统，则依次求出各个输入信号单独施加于系统时的输出，并将它们叠加即为系统的总输出。通常，求解线性定常微分方程的常用方法有经典解析法和拉普拉斯变换法。
2. 非线性微分方程的线性化
在建立控制系统的数学模型时，常常会遇到非线性的问题。严格地说，实际物理元件或系统往往都存在间歇、死区和饱和等非线性。严格意义上，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性。目前，对于非线性微分方程无通用的解析求解方法，可以对具体的非线性问题计算出近似结果，但难以获得各类非线性系统的普遍求解规律。因此，考虑到工程实际特点，尽量将非线性问题在合理的、可能的条件下近似为线性问题，即所谓线性化。
对每一个控制系统而言，均有一个额定的工作状态以及与之相对应的工作点。依据数学的级数理论可知，若在给定区域内的函数均有对应的各阶导数存在，则可在给定工作点的近域内将非线性函数展开为泰勒级数。若偏差的范围很小时，可忽略级数展开式中偏差的高次项，即可得到只包含偏差一次项的线性化方程式。此种线性化方法称为切线法或小偏差法。该方法的具体过程描述如下。
设有连续变化的非线性函数为y=f（x），如图2-4所示。取某平衡状态A为工作点，对应有y0=f（x0）。当x=x0+Δx时，有y=y0+Δy。设函数y=f（x）在（x0，y0）点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为
当增量（x-x0）很小时，可省略其高次幂项，则有
令Δy=y-y0=f（x）-f（x0），Δx=x-x0，
，则线性化方程可简化为
Δ y=KΔx
略去上式中的增量符号Δ，即得到函数在工作点附近的线性化方程为y=Kx，K=
是函数y=f（x）在A点附近的切线斜率。
如果系统中非线性元件不止一个，则必须对各非线性元件建立它们工作点的线性化增量方程。
【例2-4】 如图2-5a所示的铁心线圈电路，其磁通Φ与线圈中电流i之间关系如图2-5b所示。试列写以ur为输入量，i为输出量的电路微分方程。
图2-4 小偏差线性化示意图
图2-5 铁心线圈电路及其特性
解：设铁心线圈磁通变化时产生的感应电动势为
根据基尔霍夫定律，该电路的微分方程可列写为
式中，
是线圈中电流i的非线性函数。
在实践应用中，若电路的电压和电流仅在某平衡点（u0，i0）附近有微小变化，则可设ur相对于u0的增量是Δur，i相对于i0的增量是Δi，并设Φ（i）在i0的附近连续可微，则Φ（i）在i0附近用泰勒级数展开为
当Δi足够小时，略去高阶导数项，可得
式中，
。令ΔΦ=Φ（i）-Φ（i0），并略去增量符号Δ，便得到磁通Φ与线圈中电流i之间的增量线性化方程为
Φ（i）=Ki
由上式可求得
=K，代入式（2-6）中有
式（2-7）即为铁心线圈电路在平衡点（u0，i0）的增量线性化方程，若平衡点发生变动，则K值亦相应改变。
在上述线性化的过程中，需要注意以下几点：
1）线性化方程通常是用增量方程描述的。
2）线性化往往是相对某一工作点（即平衡点）进行的。工作点不同，则对应的切线斜率不同，线性化方程的系数也就不同，因此，在进行线性化之前，必须先确定工作点。
3）变量的变化必须是小范围的。变量只有在足够小的范围内变化，才能保证线性化具有足够的精度。
4）如果非线性特性是不连续的，无法满足展开成为泰勒级数的条件，或者具有严重非线性的系统，原则上不能用小偏差进行线性化处理，而应当使用非线性系统理论来解决。