1.3 标量场的梯度

1.3.1 标量场的等值面

对于区域V中的任意一点，如果ϕ（r，t）都有确定值与之对应，就称这个标量函数ϕ（r，t）是定义于V上的标量场。标量场ϕ（r，t）在某时刻的空间分布可用等值面予以形象描绘。它是该时刻ϕ（r）所有相同值的点构成的空间曲面。例如，在直角坐标系中，ϕ（r）的等值面方程为

式中，C为常数。我们所熟知的等高线所在的平面就是等值面，这在地形图中使用广泛。

1.3.2 方向导数与梯度

下面介绍在给定时间情况下描述标量场空间变化率的方法。如图1.3-1所示，分别给出ϕ和ϕ+Δϕ两个常数，其中Δϕ为ϕ的增量。在ϕ面上有点P，沿其法线方向（）在ϕ+Δϕ面上有点P₁，沿另一任意方向（）在ϕ+Δϕ面上有点P₂。对于同样的增量dϕ，很显然，沿法向的空间变化率dϕ/dn最大。可见，空间变化率dϕ/dl的大小取决于dl的方向，因此dϕ/dl称为方向导数。

按照复合函数求导法则，方向导数可表示为

下面定义一个矢量，其大小为标量场函数ϕ在P点的方向导数的最大值，其方向是取得最大方向导数的方向，这个矢量称为标量场函数在该点的梯度，用gradϕ表示。

为简洁起见，引入哈密顿算符▽，其表达式可写成

因此，通过比较式（1.3-2）和式（1.3-3），可得方向导数与梯度的关系：

在广义正交曲面坐标系中，式（1.3-4）也可以写成

式中，。而P点到P₂点所产生的ϕ的全微分可表示为三个分量的增量，即

因此，上式也可表示为两个矢量的点积：

比较式（1.3-5）和式（1.3-6），得，即

可以看出，哈密顿算符▽在广义坐标系中的一般形式可以写为

在直角坐标系中，拉梅系数为{1，1，1}，因此

代入圆柱坐标系的拉梅系数{1，ρ，1}和球坐标系的拉梅系数{1，r，r sinθ}，可得

例1.3-1 求标量场ϕ=x2-xy2+z2在点P（2，1，0）处的最大变化率值与其方向，以及沿方向的方向导数。

解：由题意可得

在P点有

最大变化率为

最大变化率方向为

方向导数为

可见，在标量场中，ϕ在该方向上的变化率小于最大变化率。

例1.3-2 求曲面z=x2+y2在点P（1，1，0）处的法向。

解：令ϕ=x2+y2-z，曲面z=x2+y2是标量场ϕ=0的等值面，则有

在P点有

因此，曲面在P点的法向为。

例1.3-3 参看图1.3-2，场点P（x，y，z）和源点P′（x′，y′，z′）间的距离为R。试证：①；②；③。这里▽′表示对源点坐标（x′，y′，z′）做微分运算（将P取为定点，P'为动点），。

证明：

R=[（x-x′）2+（y-y′）2+（z-z′）2]1/2

①

即

②

即

③

即

同理，可得，因此