2.3 单位矩阵与逆矩阵

2.3.1 什么是单位矩阵

单位矩阵是一个方阵, 它在主对角线上的元素都是1, 其余元素都是0。通常用符号I表示单位矩阵。例如,2阶单位矩阵可以写成:

单位矩阵在线性代数中扮演着重要的角色, 因为它是矩阵乘法的单位元, 即任何矩阵和它相乘都等于原矩阵本身。同时, 在求逆矩阵和解线性方程组时也经常会用到单位矩阵。

现在, 通过一个有趣的故事来介绍什么是单位矩阵。假设你是一名厨师, 正在制作一个蛋糕。你需要将每种配料的用量精确地称出来, 以便蛋糕的味道不会太甜或太淡。但是, 你的秤可能存在一定的偏差, 这就会影响蛋糕的口感。

于是你想到了一个聪明的方法, 你在称重之前先用一份“特殊”的食谱记录下每种配料应该加入的量。这份食谱是一份标准的参考, 可以保证每次做蛋糕都做出同样的美味, 就像图2-8所示的这样。

这个“特殊”的食谱就相当于我们所说的单位矩阵。它是一个包含相同数量的行和列的方阵, 并且在对角线上所有元素的值都为1, 其余元素的值都为0。这种矩阵能够在数学计算中起到类似于标准食谱的作用, 使得我们可以更加精确地计算。

举个例子, 如果你想要把两个矩阵相乘, 其中一个矩阵是单位矩阵, 那么矩阵相乘的结果就是另一个矩阵本身。

如果你对这个例子还有疑问, 那就让我再用另一种方式来解释吧。假设你是一名小学生, 正在上数学课。老师说: “同学们, 如果我们把任何一个数和1相乘, 结果都是这个数本身。”这时, 你举起手来问: “老师, 为什么呢?”老师回答道: “因为1是乘法中的单位元素。”

其实, 这就是单位矩阵在矩阵乘法中的作用。它像数字1一样, 是乘法中的单位元素, 能够保持另一个矩阵的性质不变。所以, 无论是蛋糕配料还是数学计算, 只要有了标准的参考, 我们都可以更加精确地完成任务。

原理输出2. 8

为了帮助大家更好地理解和消化单位矩阵的概念, 请大家在ChatGPT的帮助下, 录制一个长度约为2分钟的短视频, 介绍什么是单位矩阵。

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实操练习2. 8

为了让大家可以用代码的形式学习单位矩阵, 接下来大家可以让ChatGPT生成代码演示, 并在Colab新建一个Notebook文件运行这些代码。

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2.3.2 什么是逆矩阵

逆矩阵是一个方阵, 如果将其与原矩阵相乘得到单位矩阵, 则称该方阵具有逆矩阵。逆矩阵的存在条件是原矩阵必须为可逆矩阵, 也就是行列式不为零。

对于一个n×n的可逆矩阵A, 其逆矩阵记为A-1, 可以通过求解线性方程组来计算。具体地说即, 如果Ax=b, 则x=A-1b。

逆矩阵在线性代数和矩阵运算中非常重要, 它用于解决线性方程组, 计算矩阵的行列式、秩等问题。

回到生活中的例子, 假设你还是前面那位厨师, 正在为客人准备一道美味的煎饼。你在制作煎饼的过程中需要调整配料的比例, 但你却发现自己只有一个配料桶, 里面已经混合了所有的原料, 包括面粉、鸡蛋和牛奶等。由于这些原料的比例不正确, 你的煎饼很难做出完美的口感。

那么, 如何解决这个问题呢? 这时候逆矩阵就派上用场了。逆矩阵就像是一把万能的“配料筛子”, 可以帮助你快速计算出每种原料的比例, 从而制作出完美口感的煎饼。

具体来说, 逆矩阵就是指对于一个给定的方阵, 存在另一个方阵, 使得两个方阵相乘的结果为单位矩阵。这个“逆矩阵”就如同一个魔术般的配料筛子, 可以将混杂的原料按比例分离出来, 从而使我们能够得到正确的成分配比, 顺利制作出完美的煎饼, 就像图2-9所示的这样。

当然, 在实际生活中我们并不需要手工计算逆矩阵, 因为计算机可以很快地完成这个工作。但是, 这个例子可以帮助我们更好地理解逆矩阵的概念, 并且感受到它的重要性, 从而更好地应用于各种实际问题中。

原理输出2. 9

为了帮助大家更好地理解和消化逆矩阵的概念, 请大家在ChatGPT的帮助下, 录制一个长度约为2分钟的短视频, 介绍什么是逆矩阵。

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实操练习2. 9

为了让大家可以用代码的形式学习逆矩阵, 接下来大家可以让ChatGPT生成代码演示, 并在Colab新建一个Notebook文件运行这些代码。

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