2.1 标量、向量、矩阵与张量

2.1.1 什么是标量

标量是指只有大小没有方向的物理量或数值。在数学中, 标量通常用实数表示, 而在物理学中, 标量可以表示质量、温度、时间等只有大小没有方向的量。

用生活中的例子来说, 你在超市里买了一瓶可乐, 而这瓶可乐上写着“ 500mL”。咦, 这个数字好像就是一个标量! 没错, 标量就是表示只有大小但没有方向的数字或度量单位, 就像图2-1所示的这样。

可乐的那个例子太简单了, 再举一个吧: 比如说, 你知道自己每分钟可以跑100米, 那这个数字也是一个标量哦! 因为它只描述了你的速度大小, 却没有说明你朝着哪个方向奔跑。

诸如此类的标量还有很多很多。比如, 我们经常会听到气温、血压、身高等数值, 它们都是标量。虽然说它们有时候会有点单调, 但是在生活中它们可是非常重要的!

总之, 标量就是一个纯粹的数字, 它只能用来表示大小, 而无法表示方向。不过别看它单调, 生活中却随处可见, 你想想看, 如果没有标量, 我们怎么知道自己高矮胖瘦呢?

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为了帮助大家更好地理解和消化标量的概念, 请大家按照前言中的方法录制一个长度约为2分钟的短视频, 介绍什么是标量。

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为了让大家可以用代码的形式学习标量的概念, 接下来大家可以让ChatGPT生成代码演示标量, 并在Colab新建一个Notebook文件运行这些代码。

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2.1.2 什么是向量

向量是一个有大小和方向的数学对象, 通常用于描述空间中的物理量, 如力、速度和位移等。在二维空间中, 向量可以表示为具有两个分量 ( x和y) 的有序数组或坐标对。在三维空间中, 向量可以表示为具有三个分量 ( x、 y和z) 的有序数组或坐标三元组。向量的长度称为模或大小, 方向由它所指的位置决定。向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等, 这些运算可以帮助我们计算物理量的变化和相互作用, 也是许多科学和工程领域中重要的数学工具。

用大白话来讲, 向量其实就是“有方向的数字”, 生活中有很多可以说明这个概念的例子。它就像我们日常生活中的箭头一样, 例如玩飞盘, 如果你把飞盘扔出去, 它就会像一只飞翔的鸟一样一路飞行, 最后落到某个地方。那么, 在这个过程中, 我们可以画一个箭头, 即从你手里开始一直指向飞盘落地的地方, 就像图2-2所示的这样。

这个箭头, 也就是从你手里到飞盘落地点的有向线段, 就是一个向量。

再举一个例子, 想象一下你要开车去旅游。在道路上行驶时, 我们经常需要调整方向。此刻, 你的车正朝北行驶, 但是你突然发现前面有一个山峰挡住了你的去路, 于是你需要调整方向, 往南或者往东或者往西。这个时候, 你的调整方向的动作, 就是一个向量。

总而言之, 向量就是一个带有方向和大小的“箭头”, 可以用来描述空间中的任何东西, 比如力、速度、加速度等。

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为了帮助大家更好地理解和消化向量的概念, 请大家在ChatGPT的帮助下, 录制一个长度约为2分钟的短视频, 介绍什么是向量。

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为了让大家可以用代码的形式学习向量的概念, 接下来大家可以让ChatGPT生成示例代码, 并在Colab新建一个Notebook文件运行这些代码。

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2.1.3 什么是矩阵

矩阵是一个由数字或符号排列成的矩形数组。矩阵中的每个数字或符号称为元素。矩阵可以用来表示线性方程组、向量和线性变换等数学概念, 因此在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有广泛应用。矩阵通常用大写字母表示, 例如A、 B、 C等。一个n行m列的矩阵可以表示为一个n×m的矩阵。其中,n表示矩阵的行数,m表示矩阵的列数。矩阵中的元素可以用下标来表示, 如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

下面我们用生活中的例子介绍什么是矩阵。假设你想要坐在数学课上的前排座位, 但老师告诉你只有一些位置是空着的, 有一些位置已经被其他同学占了。你可以把这些位置放到一个表格里, 每个位置都有一个行号和列号。这个表格就是一个矩阵, 就像图 2-3 所示的这样。

现在你可能会问: “那这个矩阵有什么用呢?”其实矩阵不仅仅是一个表格, 它还能帮助我们解决很多问题。例如, 你想知道这个班级男生和女生的人数, 你可以把男生和女生分别放到两个不同的矩阵里, 然后对每个矩阵的行数求和, 就能得到男生和女生的总人数。

更进一步地, 矩阵还可以用来描述一些复杂的变化。比如说, 你拿了一个纸片, 把它旋转了一下, 然后又压扁了一下, 最后变成了一个新的图形。这个变化过程就可以用一个矩阵来表示, 这个矩阵叫作变换矩阵。这样, 我们就可以用矩阵来描述任何一个图形的旋转、缩放、平移等变换。

当然, 矩阵并不只在数学中有用, 在计算机科学、物理学、经济学等领域也都有广泛的应用。所以说, 学习矩阵是非常重要的!

原理输出2. 3

为了帮助大家更好地理解和消化矩阵的概念, 请大家在ChatGPT的帮助下, 录制一个长度约为2分钟的短视频, 介绍什么是矩阵。

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2.1.4 什么是张量

张量是一种数学对象, 可以用来表示在向量、矩阵等数学结构的基础上进行推广的多维数据。它是具有特定变换规则的多重线性映射, 可以被视为向量和矩阵的推广。在机器学习中, 张量通常是指由数字组成的多维数组, 例如, 一个二维张量可以被认为是一个矩阵, 而一个三维张量可以被认为是一个立方体或者多个矩阵叠加而成的堆积。张量在深度学习领域中被广泛应用, 因为它可以有效地存储和处理大量的数据, 并且通过张量运算可以实现很多机器学习算法。

回到日常生活中, 可以发现一件物品有很多的属性, 比如说, 一个水杯可以有不同的颜色、形状、大小和重量等。在我们的生活中, 很多东西都是由许多基本属性组成的。

那么, 这些属性又是如何描述和组合起来的呢? 这时候就需要用到张量了! 你可以把它看作一个特殊的数据结构, 可以用来表示任何数量的属性。就像我们的水杯, 每个水杯都有不同的属性值, 例如: 它的颜色可以是红色、绿色或蓝色; 它的大小可以是大杯、中杯或小杯; 它的形状可以是圆形、方形或心形。你可以用一个三维张量来表示这个水杯的属性, 其中第一维代表颜色, 第二维代表大小, 第三维代表形状, 就像图2-4所示的这样。

现在你可能会问: 那么为什么要使用张量呢? 其实很简单, 因为张量可以更好地描述数据之间的关系。如果我们只是用单一的数值来描述一个物品, 那么可能无法准确反映出它真正的特性。但是如果使用张量, 我们就可以更好地捕捉到物品属性之间的关系, 从而更好地理解它们。

总之, 张量就像是我们日常生活中的一种数据结构, 能够帮助我们更好地理解和描述世界。无论是在科学、工程还是其他领域, 它都扮演着非常重要的角色。所以, 如果你想成为一个真正的数据科学家, 了解张量将会是一个非常好的开端!

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