1.13 扑克牌

扑克牌游戏是概率论的一个有趣应用.类似的计算也在涉及多种选择的经济实例中很有用.

一副标准的扑克牌有52张，包含13个点数{2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A}每个点数都有四种花色{梅花，方块，红桃，黑桃}.洗牌后（牌的顺序是随机的），一个玩家发五张牌[9]，称为“一手牌”（hand）.牌的大小取决于有多张牌相同[一对、两对、三张同点、满堂红（三张同点，另外两张同点）、四张同点]、五张牌是否连着（称为“顺子”），以及五张牌是否同一花色（称为“同花”）.拿着最大牌的玩家获得胜利.

我们感兴趣的是玩家获胜的概率.

该问题是无序不放回抽样.抽出5张牌的可能方法数为

由于抽取是对称和随机的，每一手牌抽到的概率是相同的，概率都是一个无限小的数字1/2598960.

另一种计算该概率的方法如下.想象一下，选择特定的5张牌.第一次抽到的是5张中1张的概率是5/52，第二次抽到的是剩余4张牌中1张的概率是4/51，第三次抽到的是剩余3张牌中1张的概率是3/50，等等.所以抽到这5张牌的概率是

计算一手牌获胜的概率方法是枚举和计算这一手牌的总数，再除以总数2598960.让我们考虑几个例子.

四张同点 考虑四张相同特定点数的牌（如K）.一手牌中包含四张K和一张其他牌，其他牌可以是剩余48张中的任意一张.因此，五张牌中四张都是K有48种可能.有13种点数，因此四张同点共有13×48=624种可能.因此，抽到四张同点的概率为

三张同点 考虑三张相同特定点数的牌（如A牌）.三张A牌一组共有种.有48张牌可以选择剩下的两张，共有种，然而，这里面还包括两张一对的情况.从12个点数中选择某个点数，该点数组成一对共有种，所以共有12×6=72种.因此，除去成对的情况，选两张牌共有47×24-72=44×24种.因此，一手牌中有三张A牌且没有对子的总数为4×44×24.由于有13种可能的点数，一手牌中三张同点的总数为13×4×44×24.因此抽到三张同点的概率为

一对 考虑两张相同特定点数的牌（如“7”）.一对“7”共有种.有48张牌可以选择剩下的三张，共有种.然而，这里面还包括剩余三张同点和两张一对的情况.共有12个点数，每个点数有种三张同点，也有种两张一对，其他三张从剩余44张中选取.因此，剩余三张同点或两张一对共有12×（4+6×44）种.做减法，一手牌中有两个“7”且没有其他对子的总数为

6×[23×47×16-12×（4+6×44）]

再乘以13得，抽到任意点数成一对的概率为

从这些简单的计算可知，如果你抽到一手随机的五张牌，有很大机会抽到一对，很小的机会抽到三张同点，抽到四张同点的机会小到可以忽略不计.