§1.2　行列式的性质与计算

行列式的奥妙在于对行列式的行或列进行了某些变换[如行与列互换、交换两行（列）位置、某行（列）乘以某个数、某行（列）乘以某数后加到另一行（列）等]后，行列式虽然会发生相应的变化，但变换前后两个行列式的值却仍保持着线性关系，这意味着，可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算.本节首先讨论行列式在这方面的重要性质，然后进一步讨论如何利用这些性质计算高阶行列式的值.

1.2.1　行列式的性质

将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为DT或D′，即若，则

性质1　行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.

注：　由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.

性质2　交换行列式的两行（列），行列式变号.

注：　交换i，j两行（列）记为ri↔rj（ci↔cj）.

推论1　若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零.

证　互换D中相同的两行（列），有D=-D，故D=0.

性质3　用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式，即

注：　第i行（列）乘以k，记为ri×k（或ci×k）.

推论2　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

推论3　行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.

例如，行列式，因为第一列与第二列对应元素成比例，根据推论3，可直接得到.

性质4　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设

性质5　将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.

例如，以数k乘第j列加到第i列上，则有

注：　以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj.

1.2.2　利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.

例如，化为上三角形行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其他行交换，使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

注：　今大部分用于计算一般行列式的计算机程序都是按上述方法进行设计的.可以证明，利用行变换计算n阶行列式需要大约2n3/3次算术运算.任何一台现代的微型计算机都可以在几分之一秒内计算出50阶行列式的值，运算量大约为83300次.如果用行列式的定义来计算，其运算量大约为49×50！次，这显然是个非常大的数值.

例1　

例2　

例3　

解　注意到行列式中各行（列）4个数之和都为6.故可把第2～4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行，化为上三角形行列式来计算：

注：　仿照上述方法可得到更一般的结果.

例4　计算

解　根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D中的零元素增多.

例5　

解　从第4行开始，后一行减前一行.

此外，在行列式的计算中，还应将行列式的性质与行列式按行（列）展开的方法结合起来使用.一般可先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素，再将行列式按此行（列）展开，化为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为二阶行列式为止.

注：　按行（列）展开计算行列式的方法称为降阶法.

例6