§1.1　n阶行列式的定义

1.1.1　二阶、三阶行列式

1.二阶行列式的引入

对于二元线性方程组

第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得（a11a22-a21a12）x1=b1a22-b2a12，第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得（a11a22-a21a12）x2=b2a11-b1a21.

若设a11a22-a21a12≠0，则方程组的解为

2.二阶行列式的定义

在（1-2）式中把分母引进一个记号，记

（1-3）式左端称为二阶行列式（2-th determinant），记为Δ，即

而（1-3）式右端称为二阶行列式Δ的展开式.

对于二阶行列式Δ，也称其为方程组（1-1）的系数行列式（determinant of coefficients）.若用二阶行列式记

则方程组的解（1-2）式可写成　

3.三阶行列式的定义

的左边称为三阶行列式（3-th determinant），通常也记为Δ.在Δ中，横的称为行（row），纵的称为列（column），其中，aij（i，j=1，2，3）是数，称其为此行列式的第i行第j列元素.式（1-4）的右边称为三阶行列式的展开式.

利用二阶行列式可以把展开式写成

A11=（-1）1+1M11，A12=（-1）1+2M12，A13=（-1）1+3M13，

其中，A1j称为元素a1j的代数余子式（algebraic complement minor）（j=1，2，3），M1j称为元素a1j的余子式（complement minor），它是Δ中划去元素a1j所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.

4.三元线性方程组的解法

引进了三阶行列式，三元线性方程组

的解就可写成　　 　　（1-6）

称Δ为方程组（1-5）的系数行列式，它是由未知数的所有系数组成的行列式，Δj（j=1，2，3）是将Δ的第j列换成常数列而得到的三阶行列式.

5.三阶行列式对角线法则

三阶行列式对角线法则如图1-1所示.

例1　计算三阶行列式

解

例2　解方程组

解　利用（1-6）式求解方程组.

1.1.2　n阶行列式

1.n阶行列式的定义

由n2个数排成n行n列的式

（1-7）式左端称为n阶行列式（n-th determinant），它等于其右端展开式运算所得到的数.其中A1j=（-1）1+jM1j（j=1，2，…，n）称为元素a1j的代数余子式，M1j称为元素a1j的余子式.

n阶行列式一般可用|D|或Dn表示.当n=1时称为一阶行列式，规定一阶行列式|a|的值等于a.

2.代数余子式的定义

把Aij=（-1）i+jMij称为元素aij的代数余子式，Mij称为元素aij的余子式（i，j=1，2，…，n），它是n阶行列式（1-7）中划去元素aij所在第i行第j列后余下的n-1阶行列式，即

例3　计算四阶行列式

解　由定义有

下面计算几个特殊行列式.

例4　计算下列行列式：

（1）对角行列式；　（2）下三角行列式.

解　（1）由行列式定义，有

用归纳的方法，可证得n阶对角行列式

（2）由行列式定义，有

用归纳的方法，对于n阶下三角行列式可证得下面的结论：

同学们自己思考一下，行列式

各应等于什么呢？

由例4的（2）可知，设法将一般高阶行列式化成下三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法.

n阶行列式的定义也可写成