导读
凌复华
（上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授）
·Introduction to Chinese Version·
古希腊数学家欧几里得画像。
一、欧几里得与《几何原本》的传说
《几何原本》的作者欧几里得，可以说是历史上最为人知的数学家之一，他的名字早就成为经典几何学的代名词。但是，与之形成巨大反差的是，他的生平却最不为人知。下面，我们以几个“数字”为线索，看看与他有关的史料和有一定可信度的传说。
一：“一”指的是，《几何原本》是有史以来最成功、发行量最大、最有影响力的一部教科书。
二：“二”指的是“两段传说”。第一个传说，公元5世纪，有一位希腊数学家，名字叫普罗克洛斯（Proclus），他是新柏拉图学派的代表人物，曾为欧几里得《几何原本》做过注解。据普罗克洛斯记载，当时的埃及托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“几何无王者之路。”意思是说，在几何学里，没有专为国王铺设的大道。这句话后来成为传诵千古的箴言。
第二个传说，公元6世纪时的一位叫斯托贝乌斯的数学家，记述了另一则故事。一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得：“老师，我学了几何学之后将得到些什么？”欧几里得想了想，转头对助手说：“给他三个钱币，让他走人，因为他想在学习几何学中获取实利。”的确，当时学习几何学确实不能立竿见影给人带来实际利益。但是，我们现在知道，几何学后来对科学大厦的建立起到了巨大的作用。
三：“三”指的是“三个史实”。学术界一般认为，以下这三个史实是可信的。第一，欧几里得出生在雅典，并曾在柏拉图的“学园”学习。第二，欧几里得于公元前300年左右活跃于埃及亚历山大城，很可能是在亚历山大图书馆教授数学。第三，欧几里得大约生活于公元前330年至前275年，大约活了55岁。
四：“四”指的是《几何原本》一书实际上有“四位作者”。除了欧几里得之外，其他三位分别是毕达哥拉斯（Pythagoras），欧多克斯（Eudoxus of Cnidus），特埃特图斯（The-aetetus of Athens）。
《几何原本》一共十三卷。现在学术界普遍认为，这十三卷并不都是欧几里得一个人的成果，书中大部分的内容直接取材于他之前的其他数学家。一般认为，第一卷至第三卷，以及第七卷至第九卷的许多内容，出自毕达哥拉斯学派；这个学派认为，“数”是万物本原，最为人所知的成就是毕达哥拉斯定理，在我国称之为勾股定理，这在《几何原本》第一卷中就有明确表述。
《几何原本》第五卷中的比例理论和第十卷中的穷举法，出自欧多克斯。欧多克斯与柏拉图是同时代人，曾求学于柏拉图学园，之后返校执教。
《几何原本》第十卷和第十三卷，出自特埃特图斯；他是柏拉图学园的一位数学家，对柏拉图的影响很大，柏拉图曾将他作为《对话录》的标题人物和讨论对象。
当然，在《几何原本》中，欧几里得本人也有不少精彩手笔，如用几何图形，寥寥数笔就证明了勾股定理，证明了不存在最大素数的欧几里得定理，给出因式分解定理，等等。
一千：“一千”指的是《几何原本》的各种版本，总数不下“一千种”。《几何原本》的原稿早已失传，在很长时间里，最流行的是赛翁（Theon）的希腊语修订本，直到1808年，在梵蒂冈发现了更早的手抄本。海贝格（J.L.Heiberg）根据这个手抄本于1883—1888年编译的希腊语版本，这也是当今学界公认的权威版本。
在欧洲的中世纪黑暗年代，希腊文明由阿拉伯人传承。《几何原本》的第一个阿拉伯语译本出现于公元9世纪。1120年左右出现转译自阿拉伯语的第一个拉丁语译本，它于1482年在威尼斯首次印刷出版。1505年，译自赛翁希腊语文本的拉丁语译本，也在威尼斯印刷出版。《几何原本》最早的完整英语译本，出现于1570年；而最流行的英语译本，是1908年和1926年出版的希思（T.L.Heath）的注释本。
《几何原本》的汉语翻译其实也开始得很早。1607年，由天主教耶稣会传教士意大利人利玛窦和我国明代科学家徐光启合译出版了前6卷，但直到250年以后的1857年，才由英国的伟烈亚力和中国科学家李善兰译出后9卷，共出版15卷。不过，后两卷现在一般认为是后人添加进去的，此后的版本不再收入。明清两朝的这两个汉译本都是文言文，那时的术语和现在也不一样。难以想象的是，此后130年间，《几何原本》新的汉译本竟然又是空白，直到1990年才出版了兰纪正、朱恩宽的现代汉语译本。近年来又出现了十余种汉译本，但良莠不齐，总的说来并未见有什么超越。
从古代希腊语手抄本到阿拉伯语和拉丁语译文的手抄本，再到近现代不同语言译本的印刷版本，《几何原本》各种版本总数不下一千种。
两千三百：“两千三百”指的是《几何原本》成书于大约2300年前，这本书的面世起到了承上启下的作用。所谓“承上”，指的是欧几里得总结了在他以前古希腊几何学中的所有重要成果，如上面提到的毕达哥拉斯、欧多克斯、特埃特图斯，还有希波克拉底（Hip-pocrates of Chios）和泰乌迪乌斯（Theudius）。所谓“启下”，是指《几何原本》对世界数学的深远影响。它直接影响了其后阿基米德（Archimedes）和阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）分别开创的计算几何学和形式与状态几何学，古典几何学在那时已经成熟。
现在常把古典几何学称为欧几里得几何学，简称欧氏几何。近代以来发展出来的解析几何、罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、黎曼几何等，也都可以溯源于此。许多伟人如开普勒、牛顿、爱因斯坦等，都称自己受到《几何原本》的极大影响。
二、《几何原本》的三大特点
《几何原本》构建了一个非常严密的理论体系，它的诞生，标志着古典几何学已经成熟。《几何原本》具有如下三大特点：
第一个特点，《几何原本》中的作图题占比很高，但作图时使用的工具只是圆规和直尺，而且直尺是无刻度的，这正是高度抽象化的欧几里得几何学的特色。欧几里得用圆规和直尺作出许多不同类型的图，例如正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十五边形等。直到两千年后，才有高斯（Gauss）增补了正十七边形的作法。
第二个特点，《几何原本》全书使用严格的逻辑证题。现在常见的说法是，欧几里得从五条“公理”和五条“公设”出发，加上一些定义，严格地推导出庞大的命题系统。例如，有人说：“上帝定义了点，组成了线，继而有了面，叠成立体空间；欧几里得左手拿着直尺，右手拿着圆规，通过五条公设和五条公理，绘出了世界。”
不过，在我看来，这种说法是不准确的。由表1的统计可见，《几何原本》中的“公设”，全书一共引用了15次，其中有13次都在第一卷；而“公理”，全书一共引用了19次，其中有18次都在第一卷。由此可见，这些“公设”和“公理”主要影响的是第一卷。
表1 《几何原本》中引用了公设与公理的命题
在《几何原本》中，对“命题”有直接影响的是各卷的“定义”，有些“定义”也对其他卷有影响。尤其是第一卷的“定义”，对涉及几何问题的各卷都有影响；第七卷的“定义”，对涉及数的问题的各卷都有影响。
当然，《几何原本》中的这个公理系统是可以改进完善的，后世有很多数学家在这方面做了工作，其中最有名的是德国数学家希尔伯特（Hilbert），他于1899年提出了一个严格的公理系统。在希尔伯特提出的这个公理系统中，有“关联公理”八条，说明三组几何对象——点、直线和平面之间的关联；有“顺序公理”四条，说明直线上的点的相互关系；有“合同公理”五条，处理图形的移动；有“连续公理”两条，说明直线的连续关系；有“平行公理”一条，说明两条直线间的平行关系。
实际上，《几何原本》的严谨逻辑，主要体现在“命题”的结构中。我们前面提到的曾经给《几何原本》做过注解的那位希腊数学家普罗克洛斯，对此有一个极好的说明，他说：
这套严格的论证体系得益于古希腊辩论家的缜密逻辑，对后世数学发展的影响不可估量。
第三个特点，《几何原本》完全没有具体数字。这种情况不仅出现在有关几何学的各章，也出现在有关数论的各章。显然，在数论的场合中，没有具体数字往往会增加阅读和理解的困难。为了读者阅读方便，我们在翻译过程中构造了一些数字实例，以译者注形式给出，希望对读者有所帮助。虽然这似乎不是欧几里得的本意，他实际上更希望读者用抽象思维理解本书的内容。不过，对于时间有限的一般读者来说，要做到这一点并不容易。
我们知道，现代中小学几何学包括“作图”“证明”和“计算”三个部分。可是，在《几何原本》中，完全没有出现“计算”这部分的内容。到了《几何原本》问世几十年以后，古希腊另一位科学巨人阿基米德才弥补了这一缺憾，他发展了几何学的计算部分，我们称之为度量几何学。
三、《几何原本》的主要内容
《几何原本》共13卷，有5条公理，5条公设，130个定义，465个命题。这些命题之间，以及它们与定义、公理、公设之间，具有错综复杂的逻辑关系。
表2 各卷的定义和命题统计
图1展示了《几何原本》中的187个命题之间及它们与公设、公理和20个定义之间的关系。我们在此展示这张由计算机建模而制成的示意图，主要目的是让读者对这种错综复杂的逻辑关系有一个大致认识。
图1 《几何原本》中公理、公设、定义与命题之间的逻辑关系示意图
一些人认为，《几何原本》的内容只是几何学。其实，书中关于“数”的理论，也占了相当大的篇幅，几近一半。不过其中多数内容，特别是关于不可公度线段的部分，现在已很少用到。
我们知道，在现代初等几何中，包含了“作图”“证明”和“计算”三类题目，其中前两类，本书基本上都提及了。而关于“计算”，本书只给出了一些形状的面积或体积的相对关系，至于具体数字结果，前面我们讲过，还有待几十年之后阿基米德来完成。
本书的内容可以分为三大部分，简述如下。
第一部分，从第一卷到第六卷，讲述平面几何。
第一卷是开宗明义的首卷，十分重要。包括了公理、公设和平面几何的主要定义，陈述了平面几何的基本概念和结果。其核心命题是勾股定理及其逆定理（命题Ⅰ.46-48）。前面各命题或多或少为之作了铺垫。欧几里得对勾股定理的证明十分简洁巧妙且有启发性。我们特别在此展示，读者在阅读时可仔细领会、欣赏。
如图2，欲证斜边上的正方形等于二直角边上的正方形之和。
图2 勾股定理的几何证明[1]
证明如下：
三角形ABF=正方形ABFG的一半，
三角形BDM=矩形BDLM的一半，
三角形BCF=三角形ABD（两边夹一角相等），
三角形BCF=三角形ABF（同底等高），
三角形BDM=三角形ABD（同底等高），
由以上条件，可得：
三角形BDM=三角形ABF，
正方形ABFG=矩形BDLM，
同理可证，正方形ACKH=矩形CELM，而正方形CBDE=矩形BDLM+矩形CELM，故正方形ABFG+正方形ACKH=正方形CBDE。
证毕。
第二卷有14个命题，它们其实是一些代数式的几何表示。代数是后世阿拉伯人发明的。古希腊人用几何图形来表示代数式并作证明，颇具匠心。
第三卷讨论圆和弓形及与之相关的弦、弧、角、切线、割线等，囊括了圆的几何学的主要内容。
第四卷系统地处理了直线图形与已知圆的相互内接、外切、内切与外接问题，并已对一般三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十五边形获解。
第五卷讲的是比与比例。“比”是两个量之间的关系，“比例”是两个比之间的关系。这一卷囊括了已知的所有比或比例，如：正、反、合、分比、更比、换比、依次（首末）、摄动等。这些比与比例十分有用且理解起来并不困难，但需仔细阅读，搞清它们的定义和相互间的区别。
第六卷讨论相似图形，即对应角相等的图形。还引入了黄金分割的概念和应用。
第二部分，从第七卷至第十卷，讲述数的理论。
第七卷引入了各种数的概念，例如奇数、偶数、素数、合数、面数、体数、平方数、立方数、完全数等。还介绍了对它们的计算，如乘法、求最大公约数（公度）、求最小公倍数、相似面数、相似体数等。特别是最大公约数的辗转相除法，一直沿用至今。这个著名的欧几里得算法是他的数论的基础。
第八卷与第九卷的内容紧密相连。主要讲“连比例数组”及其性质。“连比例数组”其实是各项都是自然数的一个几何级数。记住这一点，再参看我们构造的数字实例，就不难理解各个命题。
第十卷约占全书篇幅的四分之一，第一个命题给出了十分重要的穷举法基础，其余讨论“可公度量”与“不可公度量”。记住，把这些量用指定为一单位的尺度量度得到一个数，就可以与现代数学中常用的有理数和无理数联系起来，从而降低阅读的难度。
第三部分，从第十一卷至第十三卷，讲述立体几何。
第十一卷叙述立体几何基础，主要研究立体角和平行六面体，它们分别相当于平面几何中的三角形和平行四边形。
第十二卷使用穷举法讨论球、棱锥、圆柱和圆锥的体积，但只提到例如球的体积与直径立方成正比，并未真正定量。
第十三卷讲解了五种正多面体。
《几何原本》的内容十分丰富，定义很多，命题一个接一个，读者往往不易掌握其间的关联。我们对各卷内容做了详细的分类和说明，主要以图与表的形式，作为“内容提要”在每卷开头列出，以便读者对该卷的内容先有一个大致的了解。
四、《几何原本》对现代中小学数学的影响
笔者的中小学时代始于七十多年前。那时我们在小学有算术，初中有平面几何和代数，高中有三角和立体几何。平面几何与立体几何中的证明题和作图题，多半来自《几何原本》，占比大约为50%，计算题当然不是来自欧几里得。算术和代数估计也各有20%来自《几何原本》。总体看来，那时数学大约有30%的内容来自《几何原本》。
现在我国中小学数学教材，比几十年前增加了不少内容，特别是高中数学教材（只考虑必修课），增加了集合、算法、统计、概率等内容。因此，《几何原本》中的内容，在我国现行中小学教材中所占的比例有所下降。笔者根据几本常用的小学、初中、高中数学书粗略统计得到，《几何原本》在其中所占的比例分别约为15%，34%和9%。读者可以从表3、表4、表5三个表中看出大致情况。表中的“内容占比”这一列，表示该章节知识内容在该学段数学书中的占比；“来自《几何原本》”这一列，表示该章节知识内容本身有多少是来自《几何原本》的；“实际占比”这一列，则由前两列的数据相乘得来，表示该章节知识内容实际上有多少源于《几何原本》。
表3 我国小学某版本数学教材中来自《几何原本》的内容[2]
表4 我国初中某版本数学教材中来自《几何原本》的内容[3]
表5 我国高中某版本数学教材中来自《几何原本》的内容[4]
笔者也浏览了美国中小学的一些数学教材。美国还是分为算术、几何、代数、三角等课程，但没有统一的教科书，在必修课中并未看到集合、算法、统计、概率等内容。笔者估计，来自《几何原本》的内容大约在30%左右。
的确，《几何原本》影响了一代又一代的莘莘学子，为他们通向科学殿堂的道路打下了坚实的基础。《几何原本》在过去、现在和将来对科学思维的重要作用，怎么强调也不为过。正如爱因斯坦所言：“一个人当他最初接触到欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”
五、非欧几何
欧几里得的第五公设与其他公设有两点明显不同，一是它相当冗长，二是欧几里得一直推迟到命题Ⅰ.29才引用它，而且全书不过引用了四次（命题Ⅰ.29，Ⅰ.44，Ⅱ.10，Ⅵ.4）。看来欧几里得本人也试图避免它。因此，两千多年来，不少人都试图避免它或证明它，但均徒劳无功。
直到18世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky）另辟蹊径。他提出了一个与欧氏平行公设相矛盾的命题来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果自己的新系统在基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。此即数学中的反证法。但是，在极为细致深入的推理过程中，他得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
1.第五公设不能被证明。
2.在新的公理体系中展开的推理，得到了一系列在逻辑上没有矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样是完善严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上不矛盾的一组公理都可以形成一种几何学。
罗巴切夫斯基的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》于1829年2月23日在喀山大学的物理数学系学术会议上宣读。参加这次学术会议的学者不乏著名的数学家、天文学家等。但该论文并未受到重视，反而因其离经叛道而被人们嘲笑，直到多年后才得到学术界的认可。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶（J.Bolyai）也得到了相同的结果。鲍耶的研究开始时未得到他的父亲（也是数学家）的支持，但他坚持了下来，最终于1832年在他父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
同期，大数学家高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会势力的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基和鲍耶他们的新理论，只是在书信中向他的朋友表示了自己的认可。
另一种非欧几何学是黎曼（B.Riemann）几何。1845年，黎曼在哥廷根大学发表了题为《论作为几何基础的假设》的就职演讲，标志着黎曼几何的诞生。黎曼的新公理认为，“过直线外的一点不能作出一条平行线”。在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有曲率恒等于零、曲率为负常数和曲率为正常数三种情形。黎曼指出，前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学（图3）。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里近似地均匀，但是整个时空里却是不均匀的。在物理学中，这种看法恰恰与黎曼几何的观念相吻合。
图3 三种几何学
六、几何学的现代研究：希尔伯特公理系统
《几何原本》为几何学奠定了基础，但如上所述，其公理系统并非严谨完备的，有改进的必要。但几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，这就使数学家不可能只关心个别元素，而必须提供关于概念、公理和定理的一整套严密的系统，这是一项有相当难度的工作，由希尔伯特于20世纪末在《希尔伯特几何基础》一书中完成。
《希尔伯特几何基础》对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究，不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。
希尔伯特把几何进一步公理化了。他首先叙述了一些不予定义的基本概念。设想有三组不同的东西，分别叫作点、直线和平面，它们被统称为“几何元素”，若它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为“几何空间”。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，这样一来，也去掉了几何学里那些与感性有关的东西，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。
《希尔伯特几何基础》共七章，各章内容为：五组公理，公理的相容性和互相独立性，比例论，平面中的面积论，德沙格定理，巴斯噶尔定理，根据五组公理的几何作图。全书成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系（希尔伯特公理体系），把几何的基本对象叫作点、直线、平面，然后用五组公理确定了基本几何对象的性质，并且推出了欧几里得几何的所有定理，使欧几里得几何成为一个逻辑结构非常完善且严谨的几何体系。这本书成功地建立了希尔伯特公理体系，不仅使欧几里得几何的完善化工作告一段落，而且使数学公理方法基本形成，对20世纪数学的发展起了促进作用。
如上所述，希尔伯特把欧几里得几何转化为下列五组共20条公理的体系：
第一组关联公理8条，说明点、直线和平面三组几何对象之间的关联。
第二组顺序公理4条，说明直线上的点之间的相互关系。
第三组合同公理5条，主要是为了处理图形的移动而引进的。
第四组连续公理2条，说明直线的连续关系。
第五组平行公理1条，说明两直线间的平行关系。
希尔伯特还明确地提出了公理体系的三个基本要求，即相容性、独立性和完备性。而这五组公理满足了这些要求。如果替换其中的某组公理，就可以得到不同的几何学。例如把平行公理从欧几里得的换成罗巴切夫斯基的，便是把“欧几里得几何学”换成了“罗巴切夫斯基几何学”。另外，满足前四组公理的几何学被称为“绝对几何学”（Absolute Geometry）。
七、《导读》的写作说明
本导读写作过程中参考了不少文献，这里列出主要的几种，以供读者深入阅读或研究时参考。希思的英译注释本，卷帙浩繁，有丰富的历史资料和详细的注释，是十分有用的参考书。[5]菲茨帕特里克（R.Fitzpatrick）的英译本中附有海贝格的标准希腊语译本，也很经典。[6]在网络资源能找到另一些较新的英译本。在这些较新译本中，许多几何图形用Java语言生成，可以变动把玩。[7][8]有的用Java语言对公理、公设、定义与命题之间的逻辑关系编程，是深入研究其间逻辑关系的有用工具。本导读中的部分图即取材于此。
目前国内有售的《几何原本》汉译本将近十种，其中兰纪正、朱恩宽的译本有注释，能帮助读者更好理解原著。值得指出的是，《几何原本》是一部严谨的经典学术巨著，并非轻松易读的小书。如果简单将之包装为一般的科普书，其实十分不妥。为了便于一般读者，特别是青少年读者当作入门阅读，我们同步编写了《几何原本》的学生版并于2022年8月出版。[9]学生版精选了原书的最重要部分（约六分之一）并辅以说明。