第一卷
平面几何基础

·BookⅠ.Fundamentals of Plane Geometry·

第一次看到这本书就惊为天人……一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。

——爱因斯坦

第一卷　内容提要

（译者编写）

这是开宗明义的首卷，十分重要。第一卷包含了公理、公设和平面几何的主要定义。对之用图表的形式总结于图1.1和图1.2，读者可以由此得到一个简明扼要的概念，但务请仔细阅读原文以便获取严格的陈述和细节。

第一卷的48个命题可以分为四部分，如表1.1所示。陈述了平面几何的基本概念和结果。本卷的最重要结果是第四部分，勾股定理及逆定理，命题Ⅰ.47与Ⅰ.48。前三部分在一定程度上都为它们作了铺垫，见图1.3。

定义

1.点是无部分之物。

2.线是无宽之长。

3.线之端是点。

4.直线是点在其上平坦放置之线。

5.面是只有长与宽之物。

6.面之边缘是线。

7.平面是直线在其上平坦放置之面。

8.平面角是一个平面中不在一条直线上的两条相交线之间的倾斜度。

9.若夹一个角的两条线皆为直线，则这个角称为直线角。

10.若一条直线立在另一条直线上所成二邻角彼此相等，则每一个相等的角都是直角，并称前一条直线垂直于后一条直线。

11.大于直角之角是钝角。

12.小于直角之角是锐角。

13.边界是某物之边缘。

14.图形是一条或多条边界围成之物。

15.圆是一条线[称为圆周]围成的平面图形，由图形内一点[向圆周]辐射得到的所有线段彼此相等。

16.该点称为圆的圆心。

17.圆的直径是过圆心所作在每个方向上都终止于圆周的任意线段，任何这样的线段把圆等分为两半。[10]

18.半圆是直径及它截取的圆弧围成的图形。半圆的中心与圆的圆心相同。

19.直线图形由直线段围成，三角形由三条线段围成，四边形由四条线段围成，多边形由四条以上线段围成。

20.在三角形中，有三条相等边的是等边三角形，只有两条相等边的是等腰三角形，有三条不相等边的是不等边三角形。

21.在三角形中还有，有一个直角的是直角三角形，有一个钝角的是钝角三角形，以及有三个锐角的是锐角三角形。

22.在四边形中，直角的且等边的是正方形，直角的但不等边的是矩形，不是直角的但等边的是菱形，对边相等且对角相等，但既不等角又不等边的是长斜方形[11]。除此之外的四边形都称为不等边四边形。

23.平行线是这样一些直线，它们在同一平面中，可在每个方向无限延长，但在任一方向上彼此都不相交。

公设

1.由任意点至任意点可以作一条直线。

2.有限长直线可以在直线上持续延长。

3.以任意中心点及任意距离可以作一个圆。

4.所有直角彼此相等。

5.若一条直线与另外两条直线相交，且在其同一侧所成二内角之和小于两个直角，则这另外两条直线无限延长后在这一侧，而不在另一侧相交。[12]

公理

1.等于同一物之物彼此相等。

2.若把相等物加于相等物，则所成之全体相等。

3.若由相等物减去相等物，则剩余物相等。

4.彼此重合之物相等。

5.整体大于部分。

命题1

在给定线段上作等边三角形。

设AB是给定线段。

故要求的是在线段AB上作一个等边三角形。

以A为圆心及AB为半径作圆BCD[公设3]，又以B为圆心及BA为半径作圆ACE[公设3]。并由两个圆的交点C至点A，B分别连线CA，CB[公设1]。

由于点A是圆CDB的圆心，AC等于AB[定义 Ⅰ.15]。再者，由于点B是圆CAE的圆心，BC等于BA[定义 Ⅰ.15]。但已证明CA等于AB。因此，CA，CB每个都等于AB。但等于同一物之物彼此相等[公理1]。因此，CA也等于CB。于是，三条线段CA，AB，BC彼此相等。

这样，三角形ABC是等边三角形并作在给定线段AB上。这就是需要做的。

命题2

由给定点（作为一个端点）作一条线段等于已知线段。

设A是给定点，BC是给定线段。故要求的是在点A作一条线段等于给定线段BC。

由A至点B连接线段AB[公设1]，在其上作等边三角形DAB[命题 Ⅰ.1]。分别延长DA，DB生成直线AE，BF[公设2]。以B为圆心及BC为半径作圆CGH[公设3]，再以D为圆心及DG为半径作圆GKL[公设3]。

因此，由于点B是圆CGH的圆心，BC等于BG[定义 Ⅰ.15]。再者，由于点D是圆GKL的圆心，DL等于DG[定义 Ⅰ.15]。而且其中DA等于DB。于是，剩下的AL等于剩下的BG[公理3]。但BC已被证明等于BG。因此，AL与BC都等于BG。但等于同一物之各物彼此相等[公理1]。于是，AL也等于BC。

这样，在给定点A作出了等于给定线段BC的线段AL。这就是需要做的。

命题3

对于给定的两条不相等线段，由较大者截取一段等于较小者。

设AB与C是给定的两条不相等线段，其中AB较大。故要求的是由较大的AB截取一段等于较小的C。

把等于线段C的线AD置于点A[命题 Ⅰ.2]。以A为圆心，AD为半径作圆DEF[公设3]。

由于A是圆DEF的圆心，故AE等于AD[定义 Ⅰ.15]。但C也等于AD。于是，AE与C都等于AD。故AE也等于C[公理1]。

这样，对于给定的两条不相等线段AB与C，由较大线段AB截取了等于较小线段C的AE。这就是需要做的。

命题4

若两个三角形有两边分别等于两边，且这两边所夹的角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等[13]，相等边对向的剩余诸角，分别等于对应的剩余诸角。

设ABC，DEF是两个三角形，边AB，AC分别等于边DE，DF，即AB等于DE，AC等于DF。并且角BAC等于角EDF。我说底边BC也等于底边EF，且三角形ABC等于三角形DEF，等边对向的剩余角等于对应的剩余角。也就是角ABC等于DEF，角ACB等于DFE。

其理由如下。若把三角形ABC与三角形DEF贴合[14]，点A置于点D，边AB置于DE，则考虑到AB等于DE，点B与点E重合。又因为AB与DE重合，考虑到角BAC等于EDF，线段AC也与DF重合。又考虑到AC等于DF，点C也与点F重合。但点B肯定也与点E重合，故底边BC与底边EF重合。其理由如下。若B与E，C与F重合，而BC不与EF重合，则两条直线将围成一个面积，而这是不可能的[公设1]。因此，底边BC与EF重合并等于它[公理4]。故整个三角形ABC与整个三角形DEF重合并等于它[公理4]。且剩余诸角与剩余诸角重合，并与它们相等[公理4]。即角ABC等于DEF，且角ACB等于DFE[公理4]。

这样，若两个三角形有两边分别等于两边，且这两边所夹的角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，相等边对向的剩余诸角，分别等于对应的剩余诸角。[15]这就是需要证明的。

命题5

等腰三角形的两个底角彼此相等，延长两条相等边后底边下方的两个角也相等。

设ABC是一个等腰三角形，边AB等于边AC，且设直线BD，CE分别是AB，AC的延长线[公设2]。我说角ABC等于ACB，角CBD等于BCE。

其理由如下。设在BD上任取一点F，并设在较大的AE上截取一段AG等于较小的AF[命题 Ⅰ.3]。连接FC，GB[公设1]。

事实上，由于AF等于AG及AB等于AC，两边FA，AC分别等于两边GA，AB，且它们夹公共角FAG。因此，底边FC等于底边GB，三角形AFC全等于三角形AGB，等边对向的剩余诸角等于对应的剩余诸角[命题 Ⅰ.4]。也就是角ACF等于ABG，角AFC等于AGB。且由于整个AF等于整个AG，在其中AB等于AC，因此剩余的BF等于剩余的CG[公理3]。但FC已被证明等于GB。故两边BF，FC分别等于两边CG，GB，且角BFC等于角CGB，而底边BC是它们的公共边。因此，三角形BFC全等于三角形CGB，且等边对向的剩余诸角等于对应的剩余诸角[命题 Ⅰ.4]。于是，角FBC等于GCB，角BCF等于CBG。因此，由于整个角ABG已被证明等于整个角ACF，且其中角CBG等于BCF，剩下的角ABC因此等于剩下的ACB[公理3]，且它们都在三角形的底边BC的上方。以及角FBC也已被证明等于GCB。且它们都在底边的下方。

这样，等腰三角形的两个底角彼此相等，延长两条相等边后底边下方的两个角也相等。这就是需要证明的。

命题6

若一个三角形中有两个角彼此相等，则对向等角的两边也彼此相等。

设在三角形ABC中，角ABC等于角ACB。则我说边AB等于边AC。

其理由如下。若AB不等于AC，其中必有一个较大，设AB较大。在较大的AB上截取DB等于较小的AC[命题 Ⅰ.3]。连接DC[公理1]。

因此，由于DB等于AC，且BC为公共边，两边DB，BC分别等于两边AC，CB，且角DBC等于角ACB。因此，边DC等于边AB，三角形DBC全等于三角形ACB[命题 Ⅰ.4]，即较小者等于较大者。而这是荒谬的[公理5]。于是AB不能不等于AC。因此它们是相等的。

这样，若三角形有两个角彼此相等，则对向等角的两边也彼此相等。这就是需要证明的。

命题7

在同一条线段上，不可能作出分别等于给定两条相交线段的另外两条线段，它们与给定两条线段有相同的端点，但相交于原线段同一侧的不同点。

其理由如下。设在同一线段AB上方作两条线段AC，CB分别等于另外两条线段AD，DB，它们在AB上有相同端点，成对相交于AB同一侧的不同点C，D，检验是否可能。因此CA等于DA，它们有相同的端点A，CB等于DB，它们有相同的端点B。连接CD[公设1]。

因此，由于AC等于AD，角ACD也等于角ADC[命题 Ⅰ.5]。于是，角ADC大于DCB[公理5]。所以，CDB更大于DCB[公理5]。再则，由于CB等于DB，角CDB也等于角DCB。但已证明前一个角大于后一个，而这是不可能的。

这样，在同一条线段上，不可能作出分别等于给定两条相交线段的另外两条线段，它们与给定两条线段有相同的端点，但相交于原线段同一侧的不同点。这就是需要证明的。

命题8

若两个三角形有两边分别等于两边，且它们的底边也相等，则相等边的夹角也相等。

设两个三角形ABC，DEF有两边AB，AC分别等于两边DE，DF，即AB等于DE，AC等于DF。设也有底边BC等于底边EF。我说角BAC也等于角EDF。

其理由如下。若贴合三角形ABC于三角形DEF，点B置于点E，线段BC置于EF，则因为BC等于EF，点C也与F重合。因为BC与EF重合，边BA，CA也分别与ED，DF重合。其理由如下。若底边BC与底边EF重合，但边AB，AC并不与边DE，DF分别重合，而是错开如同EG，GF，则我们需要在一条直线的上方，分别作等于两条给定相交直线的另外两条直线，它们有相同的端点，但相交于该直线同一侧的不同点。但是不可能作出这样的直线[命题 Ⅰ.7]。于是，若底边BC贴合于底边EF，边BA，AC不可能不分别与ED，DF重合。因此它们重合。角BAC也与角EDF重合，且它们相等[公理4]。

这样，若两个三角形有两边分别等于两边，且它们的底边也相等，则相等边的夹角也相等。这就是需要证明的。

命题9

等分给定直线角。

设BAC是给定的直线角，故要求的是把它等分。

在AB上任取一点D，并设由AC截下AE等于AD[命题 Ⅰ.3]，连接DE。并在DE上作等边三角形DEF[命题 Ⅰ.1]，连接AF。我说角BAC被直线AF等分。

其理由如下。由于AD等于AE，且AF是公共的，两边DA，AF分别等于两边EA，AF。且底边DF等于底边EF。因此，角DAF等于角EAF[命题 Ⅰ.8]。

这样，给定直线角BAC被直线AF等分。这就是需要做的。

命题10

等分给定线段。

设AB是给定线段。故要求的是把AB等分。

设在AB上作等边三角形ABC[命题 Ⅰ.1]，并设角ACB被直线CD等分[命题 Ⅰ.9]。我说线段AB在点D被等分。

其理由如下。由于AC等于BC，且CD是公共的，则两边AC，CD分别等于两边BC，CD。以及角ACD等于角BCD。因此，底边AD等于底边BD[命题 Ⅰ.4]。

这样，给定线段AB在点D被等分。这就是需要做的。

命题11

由给定直线上的给定点作直线与之成直角。

设AB是给定直线，C是其上的给定点。要求由点C作一条直线与直线AB成直角。

在AC上任取一点D，并作CE等于CD[命题 Ⅰ.3]，在DE上作等边三角形FDE[命题 Ⅰ.1]，并连接FC。我说由给定直线AB上的给定点C所作的直线FC与AB成直角。

其理由如下。由于DC等于CE，且CF是公共的，两边DC，CF分别等于两边EC，CF。并且底边DF等于底边FE。因此，角DCF等于角ECF[命题 Ⅰ.8]，且它们是邻角，但当一条直线立在另一条直线上使邻角彼此相等时，每个相等角都是直角[定义 Ⅰ.10]。因此，角DCF及角FCE都是直角。

这样，由给定直线AB上的给定点C所作的直线CF与AB成直角。这就是需要做的。

命题12

由不在给定无限长直线上的给定点作一条直线与之成直角。

设AB是给定的无限长直线，C是不在AB上的给定点。故要求的是由不在AB上的给定点C作一条直线垂直于无限长直线AB。

设在AB相对于C的另一侧任取一点D，以C为圆心，CD为半径作圆EFG[公设3]，并设线段EG在点H被等分[命题 Ⅰ.10]，连接CG，CH，CE。我说直线CH是由不在给定直线AB上的给定点C所作的与AB成直角的直线。

其理由如下。由于GH等于HE，HC是公共的，两边GH，HC分别等于两边EH，HC，且底边CG等于底边CE。因此，角CHG等于角EHC[命题 Ⅰ.8]，且它们是邻角。但若一条直线立在另一条直线上所成二邻角彼此相等，则每一个相等的角都是直角，并称前一条直线垂直于后一条直线[定义 Ⅰ.10]。

这样，直线CH是由不在给定无限长直线AB上的给定点C所作的AB的垂线。这就是需要做的。

命题13

若一条直线成角度立在另一条直线上，则可以肯定，所成角度或者是两个直角，或者其和等于两个直角。

设直线AB立在直线CD上，交成角CBA及角ABD。我说角CBA及角ABD肯定或者都是直角或者其和等于两个直角。

事实上，若CBA等于ABD，则它们两个都是直角[定义 Ⅰ.10]。但若不然，设由点B作BE与CD成直角[命题 Ⅰ.11]。于是，CBE，EBD两个都是直角。由于CBE等于两个角CBA，ABE之和，对二者各加上角EBD。于是，角CBE，EBD之和就等于三个角CBA，ABE，EBD之和[公理2]。再者，由于DBA等于两个角DBE与EBA的和，设对二者各加上ABC。于是，角DBA，ABC之和等于三个角DBE，EBA，ABC之和[公理2]。但角CBE，EBD之和也已被证明等于相同的三个角之和。而等于同一物之物彼此相等[公理1]。因此，角CBE，EBD之和也等于DBA，ABC之和。但角CBE，EBD之和是两个直角。因此，角DBA，ABC之和也等于两个直角。

这样，若一条直线成角度立在另一条直线上，则可以肯定，所成角或者是两个直角，或者其和等于两个直角。这就是需要证明的。

命题14

若两条直线不在某一条直线的同一侧，并在后者上一点所成邻角之和等于两个直角，则这两条直线在同一直线上。

设不在同一侧的两条直线BC，BD，在AB上B点所成邻角ABC与ABD之和等于两个直角。我说BD与CB在同一直线上。

其理由如下。若BD与BC不在同一直线上，设BE与CB在同一直线上。

因此，由于直线AB立在直线CBE上，角ABC与角ABE之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。但角ABC与角ABD之和也等于两个直角。因此，角CBA与ABE之和等于角CBA与ABD之和[公理1]。从二者各减去角CBA，于是剩余角ABE等于剩余角ABD[公理3]，小角等于大角。但这是不可能的。因此，BE与CB不在同一直线上。

这样，若两条直线不在某一条直线的同一侧，并在后者上一点所成邻角之和等于两个直角，则这两条直线在同一直线上。

命题15

两条直线交成的对顶角相等。

设直线AB与CD交于点E，我说角AEC等于角DEB，以及角CEB等于角AED。

其理由如下。由于直线AE立在直线CD上所成角CEA，AED之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。再者，由于直线DE立在直线AB上所成角AED，DEB之和也等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。但CEA，AED之和也已被证明等于两个直角。因此，CEA，AED之和等于AED，DEB之和[公理1]。从二者各减去AED。于是，剩下的CEA等于剩下的DEB[公理3]。类似地可证明CEB与DEA也相等。

这样，两条直线交成的对顶角相等。这就是需要证明的。

命题16

延长任意三角形的一边，则外角大于每一个内对角。

设ABC是一个三角形，并设延长它的一边BC到点D。我说外角ACD大于内对角CBA，BAC的每一个。

设AC被等分于点E[命题 Ⅰ.10]。连接BE并延长它至点F。作EF等于BE[命题 Ⅰ.3]，连接FC，并作AC通过G。

因此，由于AE等于EC，BE等于EF，故两边AE，EB分别等于两边CE，EF。并且，角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角[命题 Ⅰ.15]。因此，底边AB等于底边FC，三角形ABE全等于三角形FEC，等边对向的剩余角对应相等[命题 Ⅰ.4]。所以，BAE等于ECF。但角ECD大于ECF。因此，ACD大于BAC。类似地，通过等分BC可证明角BCG（即ACD），也大于ABC。

这样，延长任意三角形的一边，则外角大于每一个内对角。这就是需要证明的。

命题17

任意三角形中任意二角之和小于两个直角。

设ABC是一个三角形，我说三角形ABC的任意二角之和小于两个直角。

其理由如下。延长BC至D。

由于角ACD是三角形ABC的外角，它大于内对角ABC[命题 Ⅰ.16]。对二者都加上ACB。于是，ACD，ACB之和大于ABC，ACB之和。但是，角ACD，ACB之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。因此，ABC，ACB之和小于两个直角。类似地，我们可以证明角BAC，ACB之和也小于两个直角，而且，角CAB，ABC之和也是如此。

这样，任何三角形中任意二角之和小于两个直角。这就是需要证明的。

命题18

任意三角形中大边对向大角。

设三角形ABC中边AC大于AB。我说角ABC也大于ACB。

由于AC大于AB，取AD等于AB[命题 Ⅰ.3]，并连接BD。

由于角ADB是三角形BCD的外角，它大于内对角DCB[命题 Ⅰ.16]。但ADB等于ABD，因为边AB也等于边AD[命题 Ⅰ.5]。因此，角ABD也大于角ACB，所以角ABC比角ACB更大。

这样，在任意三角形中，大边对向大角。这就是需要证明的。

命题19

任意三角形中大角被大边对向。

设在三角形ABC中，角ABC大于ACB。我说边AC也大于边AB。

其理由如下。如若不然，则AC肯定或者小于或者等于AB。事实上，AC不等于AB。否则角ABC也会等于角ACB[命题 Ⅰ.5]。但事实并非如此。因此，AC不等于AB。事实上，AC也不小于AB。否则角ABC也会小于角ACB[命题 Ⅰ.18]。但事实并非如此。因此，AC不小于AB。但已证明AC也不等于AB。因此，AC大于AB。

这样，在任意三角形中，大角被大边对向。这就是需要证明的。

命题20

任意三角形中任意两边之和大于第三边。

设ABC是一个三角形。我说在三角形ABC中，任意两边之和大于第三边。故BA，AC之和大于BC；AB，BC之和大于AC；BC，CA之和大于AB。

其理由如下。作BA通过点D，并使AD等于CA[命题 Ⅰ.3]，连接DC。

因此，由于DA等于AC，角ADC也等于ACD[命题 Ⅰ.5]。因此，BCD大于ADC。由于三角形DCB中角BCD大于BDC，且大角对向大边[命题 Ⅰ.19]，所以DB大于BC。但DA等于AC。因此，BA，AC之和大于BC。类似地，我们可以证明AB，BC之和大于CA；BC，CA之和大于AB。

这样，在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。这就是需要证明的。

命题21

由三角形一边的两个端点所作内线段之和小于三角形剩余两边之和，但其夹角较大。

在三角形ABC的一边BC上，以B，C为端点作内线段BD与DC。我说BD，DC之和小于三角形剩余两边BA，AC之和，但其夹角BDC大于BAC。

其理由如下。作BD通过E。由于任意三角形中两边之和大于第三边[命题 Ⅰ.20]，故三角形ABE中两边AB，AE之和大于BE。设对二者各加上EC。于是，BA，AC之和大于BE，EC之和。再者，由于在三角形CED中，两边CE，ED之和大于CD，对二者各加上DB。于是，CE，EB之和大于CD，DB之和。但已证明BA，AC之和大于BE，EC之和。因此，BA，AC之和更大于BD，DC之和。

再者，由于在任意三角形中，外角大于内对角[命题 Ⅰ.16]，故在三角形CDE中，外角BDC大于CED。同理，三角形ABE的外角CEB大于BAC。但角BDC已被证明大于角CEB。因此，角BDC更大于角BAC。

这样，由三角形一边的两个端点所作内线段之和小于三角形剩余两边之和，但其夹角较大。这就是需要证明的。

命题22

由等于三条给定线段的三条线段作三角形。这些线段中任意两条之和必须大于第三条，因为任意三角形中两边之和大于第三边[命题 Ⅰ.20]。

设A，B与C是三条给定线段，其中任意两条之和大于第三条，即A，B之和大于C；A，C之和大于B；B，C之和大于A。故要求的是由等于A，B，C的三条线段作一个三角形。

作直线DE，其一端为点D，在E的方向无限长。并作DF等于A，FG等于B，GH等于C[命题 Ⅰ.3]。以F为圆心，FD为半径，作圆DKL。又以G为圆心，GH为半径，作圆KLH，交圆KLD于K，连接KF与KG。我说三角形KFG是由等于A，B，C的三条线段所作出的。

其理由如下。由于点F是圆DKL的圆心，FD等于FK。但FD等于A，因此，KF也等于A。再者，由于点G是圆LKH的圆心，GH等于GK。但GH等于C。因此，KG也等于C。且FG也等于B。因此三条线段KF，FG，GK分别等于A，B，C。

这样，由分别等于三条给定线段A，B，C的三条线段KF，FG，GK作出了三角形KFG。这就是需要做的。

命题23

在给定直线上的给定点作直线角等于给定的直线角。

设AB为给定直线，A为其上的给定点，角DCE为给定直线角。故要求的是在给定直线AB上的给定点A作一个等于给定直线角DCE的直线角。

设在直线CD与CE上分别任意取点D与E，连接DE。并由等于三条线段CD，DE，CE的三条线段作三角形AFG，使得CD等于AF，CE等于AG，以及DE等于FG[命题 Ⅰ.22]。

因此，由于两边DC，CE分别等于两边FA，AG，且底边DE等于底边FG，故角DCE等于角FAG[命题 Ⅰ.8]。

这样，在给定直线AB上的给定点A作出了一个等于已知直线角DCE的直线角FAG。这就是需要做的。

命题24

若两个三角形有两边分别等于两边，这两边在一个三角形中的夹角大于另一个中对应的角，则前一个三角形的底边也大于后一个的底边。

设ABC与DEF是两个三角形，其中两边AB与AC分别等于两边DE与DF，即AB等于DE，AC等于DF。设它们也有在A的角大于在D的角。我说底边BC也大于底边EF。

其理由如下。由于角BAC大于角EDF，设在线段DE上点D作角EDG等于角BAC[命题 Ⅰ.23]。取DG等于AC或即DF[命题 Ⅰ.3]，连接EG与FG。

因此，由于AB等于DE及AC等于DG，两边BA，AC分别等于两边ED，DG。并且角BAC等于角EDG。因此，底边BC等于底边EG[命题 Ⅰ.4]。再者，由于DF等于DG，角DGF也等于角DFG[命题 Ⅰ.5]。因此，DFG大于EGF。且由于三角形EFG中角EFG大于EGF，较大角由较大边对向[命题 Ⅰ.19]，于是边EG也大于EF。但EG等于BC。因此，BC也大于EF。

这样，若两个三角形有两边分别等于两边，这两边在一个三角形中的夹角大于另一个中对应的角，则前一个三角形的底边也大于后一个的底边。这就是需要证明的。

命题25

若两个三角形有两边分别等于两边，但其中一个的底边大于另一个的底边，则前一个三角形中这两边的夹角大于后一个三角形中对应的角。

设ABC，DEF这两个三角形有两边AB，AC分别等于两边DE，DF。即AB等于DE及AC等于DF。且设底边BC大于底边EF。我说角BAC也大于EDF。

其理由如下。如若不然，BAC肯定或者小于或者等于EDF。事实上，BAC一定不等于EDF。不然底边BC就会等于底边EF[命题 Ⅰ.4]，但事实并非如此。因此，角BAC不等于EDF。而实际上，BAC也不小于角EDF。否则底边BC会小于底边EF[命题 Ⅰ.24]。但并非如此。因此，角BAC也不小于EDF。于是，角BAC大于角EDF。

这样，若两个三角形有两边分别等于两边，但其中一个的底边大于另一个的底边，则前一个三角形中这两边的夹角大于后一个三角形中对应的角。这就是需要证明的。

命题26

若两个三角形有两个角分别等于两个角，而且有一边等于一边（这条边或者在两个等角之间，或者是一个等角的对向边），则这两个三角形也有剩余诸边等于对应的剩余诸边，剩余角等于剩余角。

设ABC，DEF是两个三角形，其中两个角ABC，BCA分别等于两个角DEF，EFD。即角ABC等于DEF，角BCA等于EFD。又设它们还有一边等于一边，首先考虑两个等角之间的边，即BC等于EF。我说它们的剩余诸边等于对应的剩余诸边。即AB等于DE及AC等于DF。且剩余角也对应相等，即角BAC等于角EDF。

其理由如下。若AB不等于DE，则其中之一较大。设AB较大，并取BG等于DE[命题 Ⅰ.3]，连接GC。

因此，由于BG等于DE，以及BC等于EF，两边GB，BC分别等于两边DE，EF，而且角GBC等于角DEF。因此，底边GC等于底边DF，三角形GBC等于三角形DEF，且相等边对向的剩余角等于对应的剩余角[命题 Ⅰ.4]。因此，GCB等于DFE。但是，DFE已被假设等于BCA。因此，BCG也等于BCA，于是较小角等于较大角。而这是不可能的。因此，AB不可能不等于DE。所以它们相等。且BC也等于EF。故两边AB，BC分别等于两边DE，EF。并且角ABC等于角DEF。因此，底边AC等于底边DF，剩余角BAC等于剩余角EDF[命题 Ⅰ.4]。

然后再设对向等角的边相等，例如设AB等于DE。我又说剩余诸边等于剩余诸边，即AC等于DF及BC等于EF。而且，剩下的角BAC等于剩下的角EDF。

其理由如下。若BC不等于EF，则其中之一较大。设BC较大，检验是否可能。作BH等于EF[命题 Ⅰ.3]，并连接AH。由于BH等于EF，以及AB等于DE，即两边AB，BH分别等于两边DE，EF。且它们所夹的角也相等。因此，底边AH等于底边DF，三角形ABH等于三角形DEF，并且等边对向的剩余诸角等于对应的剩余诸角[命题 Ⅰ.4]。因此，角BHA等于EFD。但是，EFD等于BCA。故在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA。而这是不可能的[命题 Ⅰ.16]。因此，BC不可能不等于EF。于是它们相等。且AB也等于DE。两边AB，BC分别等于两边DE，EF，而且它们所夹的角也相等。因此，底边AC等于底边DF，而三角形ABC等于三角形DEF，且剩下的角BAC等于剩下的角EDF[命题 Ⅰ.4]。

这样，若两个三角形有两个角分别等于两个角，而且有一边等于一边（这条边或者在两个等角之间，或者是一个等角的对向边），则这两个三角形也有剩余诸边等于对应的剩余诸边，剩余角等于剩余角。这就是需要证明的。

命题27

若一条直线与两条直线相交形成的内错角[16]相等，则这两条直线相互平行。

设直线EF与两条直线AB，CD相交所成的内错角AEF，EFD相等，我说AB与CD相互平行。

其理由如下。如若不然，则AB与CD延长后必相交：或者在B与D的方向，或者在A与C的方向[定义 Ⅰ.23]。设它们已延长，并设它们在B与D的方向相交于点G。故对三角形GEF，外角AEF等于内对角EFG，而这是不可能的[命题 Ⅰ.16]。因此，AB与CD延长后不会相交于B与D的方向。类似地可以证明，它们也不在A与C的方向相交。但不在任何方向相交的直线是平行的[定义 Ⅰ.23]。因此，AB与CD是平行的。

这样，若一条直线与两条直线相交形成的内错角相等，则这两条直线相互平行。这就是需要证明的。

命题28

若一条直线与两条直线相交所成的同位角相等，或者同旁内角之和等于两个直角，则这两条直线相互平行。

设EF与两条直线AB，CD相交所成的同位角EGB与GHD相等，或者所成的同旁内角BGH，GHD之和等于两个直角，我说AB平行于CD。

其理由如下。由于（在第一种情况）EGB等于GHD，但EGB等于AGH[命题 Ⅰ.15]，AGH因此也等于GHD。并且它们是内错角。于是，AB平行于CD[命题 Ⅰ.27]。

再者，由于（在第二种情况）BGH，GHD之和等于两个直角，且AGH，BGH之和也等于两个直角[命题 Ⅰ.13]，AGH，BGH之和因此等于BGH，GHD之和。从二者各减去BGH。于是，剩下的角AGH等于剩下的角GHD，且它们是内错角。因此，AB平行于CD[命题 Ⅰ.27]。

这样，若一条直线与两条直线相交所成的同位角相等，或者所成的同旁内角之和等于两个直角，则这两条直线相互平行。这就是需要证明的。

命题29

一条直线与两条平行直线相交所成的内错角相等、同位角相等，且同旁内角之和等于两个直角。

设直线EF与两条平行直线AB，CD相交。我说它们形成的内错角AGH与GHD相等，同位角EGB与GHD相等，且同旁内角BGH与GHD之和等于两个直角。

其理由如下。若AGH不等于GHD，则其中之一较大。设AGH较大。对二者各加上BGH。于是，AGH，BGH之和大于BGH，GHD之和。但是，AGH，BGH之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。因此，BGH，GHD之和小于两个直角。但同旁内角之和小于两个直角的二直线无限延长后相交[公设5]。因此，无限延长的AB与CD相交。但考虑到它们原来被假设为相互平行[定义 Ⅰ.23]。因此AGH不可能不等于GHD。于是它们相等。但AGH等于EGB[命题 Ⅰ.15]。且角EGB因此也等于角GHD。对二者各加上角BGH。于是角EGB，BGH之和等于角BGH，GHD之和。但角EGB，BGH之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。因此，角BGH，GHD之和也等于两个直角。

这样，一条直线与两条平行直线相交所成的内错角相等、同位角相等，且同旁内角之和等于两个直角。这就是需要证明的。

命题30

平行于同一条直线的诸直线相互平行。

设直线AB，CD都平行于直线EF。我说AB也平行于CD。

设直线GK与AB，CD，EF相交。

由于直线GK与平行直线AB，EF相交，角AGK等于GHF[命题 Ⅰ.29]。又由于直线GK与平行直线EF，CD相交，角GHF等于GKD[命题 Ⅰ.29]。但AGK也已被证明等于GHF，所以AGK等于GKD，且它们是内错角。因此，AB平行于CD[命题 Ⅰ.27]。

这样，平行于同一条直线的诸直线相互平行。这就是需要证明的。

命题31

过给定点作直线平行于给定直线。

设A为给定点，BC为给定直线。故要求的是过点A作一条直线平行于直线BC。

在BC上任取一点D，连接AD。在直线AD上过点A作角DAE等于角ADC，且设直线EA在直线AF的延长线上。

由于直线AD与直线BC，EF相交形成的内错角EAD，ADC相等。直线EAF因此平行于BC[命题 Ⅰ.27]。

这样，过给定点A作出了一条直线EAF平行于给定直线BC。这就是需要做的。

命题32

任意三角形的外角等于二内对角之和，而三个内角之和等于两个直角。

设ABC是一个三角形，延长一边BC到D。我说外角ACD等于二内对角CAB，ABC之和，而三角形的三个内角ABC，BCA，CAB之和等于两个直角。

其理由如下。通过点C作平行于直线AB的CE[命题 Ⅰ.31]。

由于AB平行于CE，以及AC与它们相交，内错角BAC与ACE彼此相等[命题 Ⅰ.29]。再者，由于AB平行于CE，而直线BD与它们相交，外角ECD等于同位角ABC[命题 Ⅰ.29]。但ACE已被证明等于BAC。因此，整个角ACD等于二内对角BAC，ABC之和。

对二者各加上角ACB，于是角ACD，ACB之和等于角BAC，ABC，ACB之和。但角ACD，ACB之和等于两个直角[命题 Ⅰ.13]。因此，角BAC，ABC，ACB之和也等于两个直角。

这样，任意三角形的外角等于二内对角之和，而三个内角之和等于两个直角。这就是需要证明的。

命题33

在同一侧连接相等且平行二线段的二线段本身也相等且平行。

设AB与CD是相等且平行的线段，并设AC与BD分别在同一侧连接它们。我说AC与BD相等且平行。

连接BC。由于AB平行于CD，且因为BC与它们相交，内错角ABC与BCD彼此相等[命题 Ⅰ.29]。由于AB等于CD，BC是公共的，两边AB，BC等于两边DC，CB[17]。又有角ABC等于角BCD。因此，底边AC等于底边BD，三角形ABC等于三角形DCB，而剩余诸角也等于对应的相等边对向的剩余诸角[命题 Ⅰ.4]。因此，角ACB等于CBD。并且，由于直线BC与二直线AC，BD相交，形成的内错角（ACB与CBD）彼此相等，AC因此平行于BD[命题 Ⅰ.27]。且AC也已被证明等于BD。

这样，在同一侧连接相等且平行线段的线段本身也相等且平行。这就是需要证明的。

命题34

平行四边形中对边与对角彼此相等，且它被对角线等分。

设ACDB是平行四边形，BC是它的对角线。我说在平行四边形ACDB中，对边与对角彼此相等，且它被对角线等分。

其理由如下。由于AB平行于CD，且直线BC与它们相交，内错角ABC与BCD彼此相等[命题 Ⅰ.29]。再者，由于AC平行于BD，且BC与它们相交，内错角ACB与CBD彼此相等[命题 Ⅰ.29]。故ACB与BCD是这样的两个三角形，它们有两个角ABC与BCA分别等于两个角DCB与CBD，且有一边等于一边——相等角旁的边BC是它们的公共边。因此，它们也有剩余诸边分别等于对应的剩余诸边，以及剩余角等于剩余角[命题 Ⅰ.26]。因此，边AB等于CD，AC等于BD。此外，角BAC等于角CDB。而由于角ABC等于BCD，以及CBD等于ACB，整个角ABD因此等于整个角ACD。而BAC也已被证明等于CDB。

这样，在平行四边形中，对边与对角彼此相等。

我也要说，对角线把平行四边形等分。因为AB等于CD，且BC为公共边，即两边AB，BC分别等于两边DC，CB。并且角ABC等于角BCD，因此底边AC也等于DB，三角形ABC全等于三角形BCD[命题 Ⅰ.4]。

这样，对角线BC把平行四边形ACDB等分。这就是需要证明的。

命题35

同底且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等。

设ABCD与EBCF是在相同的底边BC上的平行四边形，且它们在相同的平行线AF与BC之间。我说平行四边形ABCD与EBCF相等。

其理由如下。由于ABCD是平行四边形，AD等于BC[命题 Ⅰ.34]。同理，EF等于BC，故AD也等于EF。且DE是公共的。因此，全线段AE等于全线段DF。且AB也等于DC，故两边EA，AB分别等于两边FD，DC。而角FDC等于角EAB，因为同位角相等[命题 Ⅰ.29]。因此，底边EB等于底边FC，三角形EAB与三角形DFC全等[命题 Ⅰ.4]。设从二者各减去DGE，则剩下的梯形ABGD等于剩下的梯形EGCF[公理3]。设对二者各加上三角形GBC。于是，整个平行四边形ABCD等于整个平行四边形EBCF。

这样，同底且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等。这就是需要证明的。

命题36

在相等底边上且在相同平行线之间的平行四边形相等。

设ABCD与EFGH是在相等底边BC与FG上的平行四边形，且它们在相同的平行线AH与BG之间。我说平行四边形ABCD等于EFGH。

其理由如下。连接BE，CH。由于BC等于FG，但FG等于EH[命题 Ⅰ.34]，BC因此等于EH，且它们也是平行的，EB与HC连接它们。但在同一侧把相等且平行的线段连接的线段本身相等且平行[命题 Ⅰ.33]，因此，EB与HC也是相等且平行的，于是，EBCH是一个平行四边形[命题 Ⅰ.34]，并等于ABCD。因为它与ABCD有相同的底边BC，并在与ABCD相同的平行线BC与AH之间[命题 Ⅰ.35]。同理，EFGH也等于相同的平行四边形EBCH[命题 Ⅰ.35]。故平行四边形ABCD也等于EFGH。

这样，在相等底边上且在相同平行线之间的平行四边形相等。这就是需要证明的。

命题37

底边相同且在相同平行线之间的三角形相等。

设三角形ABC与DBC在相同的底边上，且在相同的二平行线AD与BC之间。我说三角形ABC等于三角形DBC。

其理由如下。在E与F两个方向上延长AD，又作线段BE过B且平行于CA[命题 Ⅰ.31]，作线段CF通过C且平行于BD[命题 Ⅰ.31]。因此，EBCA与DBCF都是平行四边形，并且它们是相等的。因为它们在相同的底边BC上，并在二平行线BC与EF之间[命题 Ⅰ.35]。三角形ABC是平行四边形EBCA的一半。因为对角线AB把平行四边形EBCA等分[命题 Ⅰ.34]。而三角形DBC是平行四边形DBCF的一半。因为对角线DC把平行四边形DBCF等分[命题 Ⅰ.34]。并且，相等物之半彼此相等。[18]因此，三角形ABC等于三角形DBC。

这样，底边相同且在相同平行线之间的三角形相等。这就是需要证明的。

命题38

在相等的底边上且在相同的平行线之间的三角形彼此相等。

设ABC与DEF分别是在相等的底边BC与EF上，且在相同的平行线BF与AD之间的三角形。我说三角形ABC等于三角形DEF。

其理由如下。在G与H两个方向上延长AD，并过B作线段BG平行于CA[命题 Ⅰ.31]，又过F作FH平行于DE[命题 Ⅰ.31]。于是，GBCA与DEFH都是平行四边形，且GBCA等于DEFH。因为它们在相等的底边BC与EF上，且位于相同平行线BF与GH之间[命题 Ⅰ.36]。并且三角形ABC是平行四边形GBCA的一半。因为对角线AB把后者等分[命题 Ⅰ.34]。三角形FED是平行四边形DEFH的一半。因为对角线DF把后者等分。而相等物之半彼此相等。于是，三角形ABC等于DEF。

这样，在相等的底边上且在相同的平行线之间的三角形彼此相等。这就是需要证明的。

命题39

在相同底边上且位于同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。

设ABC与DBC是在相同底边BC上且在其同侧的相等的三角形。我说它们也在相同的平行线之间。

连接AD，我说AD与BC平行。

其理由如下。如若不然，设过点A作AE平行于直线BC[命题 Ⅰ.31]，并连接EC。于是，三角形ABC等于三角形EBC因为它们在相同的底边BC上并在相同的平行线之间[命题 Ⅰ.37]。但ABC等于DBC，因此，DBC也等于EBC，即较大者等于较小者。而这是不可能的。因此，AE不平行于BC。类似地，我们可以证明，除了AD以外，不可能有任意其他直线平行于BC。因此，AD平行于BC。

这样，在相同底边上且位于同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。这就是需要证明的。

命题40[19]

在相等底边上并在其同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。

设ABC与CDE是分别在相等底边BC与CE上的三角形，并且它们在BE的同一侧。我说它们也在相同的平行线之间。

连接AD，我说AD与BE彼此平行。

其理由如下。如若它们不平行，作AF过A平行于BE[命题 Ⅰ.31]，连接FE。于是，三角形ABC等于三角形FCE。因为它们分别在相等的底边BC与CE上，并在相同的平行线BE与AF之间[命题 Ⅰ.38]。但三角形ABC等于三角形DCE。因此，三角形DCE也等于三角形FCE。即较大者等于较小者。而这是不可能的。因此AF与BE不平行。类似地，我们可以证明，除了AD以外，没有任何其他直线平行于BE。因此，AD平行于BE。

这样，在相等底边上并在其同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。这就是需要证明的。

命题41

若一个平行四边形与一个三角形有相同底边，并且它们在相同的平行线之间，则平行四边形的面积是三角形的两倍。

设平行四边形ABCD的底边BC与三角形EBC的相同，并设它们在相同的平行线BC与AE之间。我说平行四边形ABCD的面积是三角形BEC的两倍。

其理由如下。连接AC，则三角形ABC等于三角形EBC。因为ABC与EBC在相同的底边BC上，并在相同的平行线BC与AE之间[命题 Ⅰ.37]。因为对角线AC把前者等分，平行四边形ABCD的面积是三角形ABC的两倍[命题 Ⅰ.34]。故平行四边形ABCD的面积也是三角形EBC的两倍。

这样，若一个平行四边形与一个三角形有相同底边，并且它们在相同的平行线之间，则平行四边形的面积是三角形的两倍。

命题42

作一个平行四边形等于给定的三角形并有给定的直线角。

设ABC是给定的三角形，D是给定的直线角。故要求的是作一个等于三角形ABC的平行四边形，并且它有直线角D。

设BC在E被等分[命题 Ⅰ.10]，连接AE。并设在直线EC上点E作角CEF等于角D[命题 Ⅰ.23]。设过A作AG平行于EC[命题 Ⅰ.31]，又设过C作CG平行于EF[命题 Ⅰ.31]。于是，FECG是平行四边形。且因为BE等于EC，三角形ABE也等于三角形AEC。因为它们在相等的底边BE与EC上，且在相同的平行线BC与AG之间[命题 Ⅰ.38]。因此，三角形ABC的面积是三角形AEC面积的两倍，且平行四边形FECG的面积也是三角形AEC面积的两倍。因为它与AEC有相同的底边，且与AEC在相同的平行线之间[命题 Ⅰ.41]。因此，平行四边形FECG等于三角形ABC。FECG也有一个角CEF等于给定角D。

这样就作出了等于已知三角形ABC的平行四边形FECG，它有一个角CEF等于给定角D。这就是需要做的。

命题43

对于任何平行四边形，其关于对角线的两个补形相等。

设ABCD是平行四边形，AC是其对角线。并设EH与FG是跨在AC上的平行四边形，而BK与KD是所谓的补形（关于AC）。我说补形BK等于补形KD。

其理由如下。由于ABCD是平行四边形，AC是其对角线，三角形ABC与三角形ACD全等[命题 Ⅰ.34]。再者，由于EH是平行四边形，AK是其对角线，三角形AEK等于三角形AHK[命题 Ⅰ.34]。同理，三角形KFC也等于三角形KGC。因此，由于三角形AEK与三角形AHK全等，以及三角形KFC与三角形KGC全等，三角形AEK加上KGC等于三角形AHK加上KFC。且整个三角形ABC也等于整个三角形ADC。因此，剩下的补形BK等于剩下的补形KD。

这样，对于任何平行四边形，其关于对角线的两个补形相等。这就是需要证明的。

命题44

把等于给定三角形的一个平行四边形以给定直线角适配[20]于给定线段。

设AB是给定线段，C是给定三角形，D是给定直线角。故要求的是把等于给定三角形C的一个平行四边形以给定直线角D适配于给定线段AB。

设以等于角D的角EBG作一个平行四边形BEFG等于三角形C[命题 Ⅰ.42]。BEFG的位置使得BE与AB相接于同一条直线上。[21]设FG通过H，又通过A作AH平行于BG或即EF[命题 Ⅰ.31]，并连接HB。且由于直线HF与平行线AH，EF相交，角AHF，HFE之和因此等于两个直角[命题 Ⅰ.29]。于是BHG，GFE之和小于两个直角。且二直线无限延长后在内角之和小于两个直角的一侧相交[公设5]。因此，HB与FE延长后相交。设它们被延长且交点为K。过K作KL平行于EA或即FH[命题 Ⅰ.31]。并分别延长HA与GB至点L与M。于是，HLKF是平行四边形，HK是它的对角线。AG与ME是平行四边形，LB与BF是HK的所谓补形。因此，LB等于BF[命题 Ⅰ.43]。但BF等于三角形C。因此，LB也等于三角形C。并且，因为角GBE等于ABM[命题 Ⅰ.15]，但GBE等于D，ABM因此也等于角D。

这样，等于已知三角形C的平行四边形LB，以等于D的角ABM被适配于给定线段AB。这正是所需要做的。

命题45

作一个平行四边形等于给定直线图形并有一个角等于给定的直线角。

设ABCD是给定的直线图形，[22]E是给定的直线角。故要求的是作一个平行四边形等于直线图形ABCD，并且它有一个角等于给定的直线角E。

连接DB，作等于三角形ABD的平行四边形FH，其中的角HKF等于角E[命题 Ⅰ.42]。并把等于三角形DBC的平行四边形GM，以等于E的角GHM适配于线段GH[命题 Ⅰ.44]。且由于角E等于角HKF，GHM的每一个，角HKF因此也等于角GHM。对二者各加上KHG。于是，FKH，KHG之和等于KHG，GHM之和。但FKH，KHG之和等于两个直角。因此，KHG，GHM之和也等于两个直角。于是，KH与KM在同一条直线上[命题 Ⅰ.14]。且由于直线HG与平行线KM，FG相交，内错角MHG与HGF彼此相等[命题 Ⅰ.29]。对二者各加上HGL。于是，MHG，HGL之和等于HGF，HGL之和。但MHG，HGL之和等于两个直角[命题 Ⅰ.29]。因此，HGF，HGL之和也等于两个直角。于是，FG与GL相接于同一条直线上[命题 Ⅰ.14]。由于FK等于且平行于HG[命题 Ⅰ.34]，以及HG平行且等于ML[命题 Ⅰ.34]，KF因此也等于且平行于ML[命题 Ⅰ.30]。线段KM与FL连接它们。于是，KM与FL也相等且平行[命题 Ⅰ.33]。因此，KFLM是一个平行四边形。由于三角形ABD等于平行四边形FH，三角形DBC等于平行四边形GM，整个直线图形ABCD因此等于整个平行四边形KFLM。

这样就作出了等于给定直线图形ABCD的平行四边形KFLM，其中角FKM等于给定角E。这就是需要做的。

命题46

在给定线段上作一个正方形。

设AB是给定线段，故要求的是在线段AB上作一个正方形。

设由线段AB上点A作线段AC与AB成直角[命题 Ⅰ.11]，取AD等于AB[命题 Ⅰ.3]。通过点D作DE平行于AB[命题 Ⅰ.31]，通过点B作BE平行于AD[命题 Ⅰ.31]，于是ADEB是平行四边形。因此，AB等于DE及AD等于BE[命题 Ⅰ.34]。但AB等于AD。因此，四条边BA，AD，DE，EB彼此相等。于是，平行四边形ADEB是等边的。我说它也是直角的。其理由如下。由于线段AD与平行线AB，DE相交，角BAD与角ADE之和等于两个直角[命题 Ⅰ.29]。但BAD是直角，因此，ADE也是直角。且平行四边形的对边与对角彼此相等[命题 Ⅰ.34]。因此，相对二角ABE，BED每个都是直角。于是，ADEB是直角的。且已证明它是等边的。

这样，ADEB是在线段AB上的一个正方形[定义 Ⅰ.22]。这就是需要做的。

命题47

在直角三角形中，对向直角的边上的正方形等于夹直角的两边上的正方形之和。[23]

设ABC是一个直角三角形，角BAC是直角。我说在BC上的正方形等于在BA，AC上的正方形之和。

其理由如下。在BC上作正方形BDEC，并分别在AB，AC上作正方形GB，HC[命题 Ⅰ.46]。过点A作AL平行于BD或即CE[命题 Ⅰ.31]。连接AD与FC。由于角BAC与BAG都是直角，于是，不在同侧的两边AC，AG，与某一直线BA在点A处成两个邻角，其和等于两个直角，因此，CA与AG在同一条直线上[命题 Ⅰ.14]。同理，BA也与AH在同一条直线上。且由于角DBC等于FBA（因为二者都是直角），对它们各加上ABC。所以，整个角DBA等于整个角FBC。且由于DB等于BC及FB等于BA，两边DB，BA分别等于两边CB，BF。而且角DBA等于角FBC。因此，底边AD等于底边FC，三角形ABD全等于三角形FBC[命题 Ⅰ.4]。平行四边形BL的面积等于三角形ABD的两倍，因为它们有相同的底边BD且在相同的两条平行线BD与AL之间[命题 Ⅰ.41]。正方形GB的面积是三角形FBC的两倍，因为它们有相同的底边FB且在相同的两条平行线FB与GC之间[命题 Ⅰ.41]。[相等物加倍后彼此相等。[24]]因此，平行四边形BL也等于正方形ABFG。类似地，连接AE与BK，也能证明平行四边形CL等于正方形HC。于是，整个正方形BDEC等于两个正方形GB，HC之和。而正方形BDEC是作在BC上的，正方形GB，HC是分别作在BA，AC上的。因此，边BC上的正方形等于边BA，AC上的正方形之和。

这样，在直角三角形中，对向直角的边上的正方形等于夹直角的两边上的正方形之和。这就是需要证明的。

命题48

若三角形一边上的正方形等于剩下的两边上的正方形之和，则剩下的两边之间的夹角是直角。

设三角形ABC一边BC上的正方形等于边BA，AC上的正方形之和。我说角BAC是直角。

其理由如下。在点A作AD与AC成直角[命题 Ⅰ.11]，并使AD等于BA[命题 Ⅰ.3]，连接DC。由于DA等于AB，DA上的正方形因此也等于AB上的正方形。[25]对二者各加上AC上的正方形。于是，DA，AC上的正方形之和等于BA，AC上的正方形之和。但DC上的正方形等于DA，AC上的正方形之和。因为角DAC是直角[命题 Ⅰ.47]。但BC上的正方形等于BA，AC上的正方形之和。因为已假设如此。于是，DC上的正方形等于BC上的正方形。故边DC也等于边BC。又由于DA等于AB，且AC为公共边，两边DA，AC等于两边BA，AC。且底边DC等于底边BC。因此，角DAC等于角BAC[命题 Ⅰ.8]。但DAC是一个直角，因此，BAC也是一个直角。

这样，若三角形一边上的正方形等于剩下的两边上的正方形之和，则剩下的两边之间的夹角是直角。这就是需要证明的。