第4章 区分抽象与还原

你也许会感到疑惑，我们在小学学习加法时，老师通常会用非常生动的例子教我们：左手一个苹果，右手一个苹果，合在一起是两个苹果，所以1+1=2。这比基数“1”的后继是基数“2”更容易理解，难道小学老师真的教错了吗？

要解释清楚这个问题，需要引入两个重要的概念：数学抽象与数学还原。

数学抽象反映了数学研究的一种核心素养，它是指通过对数量关系和空间形式的抽象得到数学对象及其运算规律的过程。人类从“一双翅膀”“一对情侣”“两头野兽”的观察中，抽象出自然数“2”；在屈指计数的过程中抽象出“1+1=2”，这些都属于数学抽象的范畴。

数学还原是指人们以生活中的具象对数学对象及其运算规律进行解释和还原的过程。小学老师所教的“左手一个苹果，右手一个苹果，合在一起是两个苹果，所以1+1=2”本质上是一种数学还原。

两者不是一回事吗？当然不是。

首先，两者产生的顺序不同。从逻辑上讲，数学抽象的产生先于数学还原，先有抽象形成理论，后有理论的还原。

其次，并非所有的数学理论都能够被还原。数学研究起步于对数量关系和空间形式的抽象，可一旦数学形成了自己的结构和体系，就立刻显示出与现实世界明显的隔离。数学中有很多内容是借由体系自由生长出来的，未必能用生活中的实例加以解释。用一句形象的话来概括，数学来源于生活，但高于生活。

我们仍然以自然数的加法为例说明抽象的数学处理与生动的数学还原有何不同。