3.5 基数与序数

我们举了很多例子来说明一一映射的重要性，因为一一对应正是数字诞生背后的核心逻辑。历史上，当有人首次意识到“一双翅膀”“一对情侣”“两头野兽”这些包含不同种类元素的集合都可以一一配对，并决定用一个统一的符号来表达这一共性时，抽象的数字“2”便诞生了，它代表了所有元素数目为2的集合所共有的属性，自然数的这种属性被称为基数。

需要指出的是，数字“2”只是表示基数的一个符号。如果你愿意，可以使用其他任何文字或符号来代替它。例如，你可以用汉字“人”代替“2”，用汉字“乙”来代替“1”，用汉字“土”来代替“3”，因为这些汉字的笔画数恰好分别是2、1、3，所以可以作为相应基数的范式符号。事实上，在语言文字中的数字真正形成之前，人类早期的基数就是用类似的范式符号来表达的，例如，“2”的符号是鸟翼，“3”的符号是苜蓿叶，“4”的符号是兽足，“5”的符号是手。

但很遗憾，即使规定好了所有基数的范式符号，仍然不能指望原始人能够从中发展出计数和加法运算的规则。如果要问他们“鸟翼”加上“苜蓿叶”等于什么，他们一定无法理解。即使他们最终理解了你的问题，他们也无法直接给出答案，而是伸出双手逐一和目标集合配对，等到五根手指配对完毕，他们才能回答“鸟翼”加上“苜蓿叶”等于“手”。

这说明牵涉计数和加法运算的时候，人们需要一个包含所有基数的标准集合，其中的元素被赋予了某种顺序可以次第排列。这正是“屈指记数法”展示的过程，“1”的后继是“2”,“2”的后继是“3”,“3”的后继是“4”，自然数这种体现了“后继”观念的属性被称为序数。

有了序数之后，加法就可以被真正定义了，等式1+1=2的真正含义是基数“1”的后继是基数“2”。请记住这点，序数是自然数加法的抽象本质。

思考题

你能再举出一个“一一对应”在实际生活中发挥重要作用的例子吗？