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前言
第1篇 数学通识，一些你应该了解的观点和事实
第1章 天赋还是勤奋
1.1 没什么特别的人类
1.2 难以测量的直觉
第2章 想象力是最大的武器
2.1 哥贝克力石阵
2.2 规天矩地
2.3 数字崇拜
第3章 数字背后的逻辑
3.1 谁更有钱
3.2 一一映射
3.3 快速计算比赛场次
3.4 汉字简化
3.5 基数与序数
第4章 区分抽象与还原
4.1 抽象的数学处理
4.2 生动的数学还原
4.3 抽象与还原之争
第5章 文明的进步
5.1 古巴比伦数字
5.2 古埃及数字
5.3 古代中国的算筹
5.4 印度人的贡献
5.5 一场生物学制造的意外
第6章 背离经验的科学
6.1 相对论的拼图
6.2 缺损棋盘问题
6.3 失效的经验
第7章 数学应该怎样学（Ⅰ）
7.1 逻辑感
7.2 一道解三角形题的本质
7.3 计算三角函数值的标准做法
7.4 “三段式”论证
7.5 你知道有几只病狗吗
第8章 数学应该怎样学（Ⅱ）
8.1 结构感知力
8.2 回归求知的本心
第2篇 从有限到无穷，初等数学与高等数学的分水岭
第9章 史上最大的“逻辑漏洞”
9.1 真相是什么
9.2 阿基米德的证明
9.3 数学走上神坛
第10章 无穷的困境
10.1 芝诺悖论
10.2 阿基里斯与乌龟
10.3 飞矢不动
10.4 理性与感观
第11章 第一次尝试
11.1 伽利略的悖论
11.2 抽象与演绎的冲突
11.3 伽利略的选择
第12章 无法回避的难题
12.1 封闭的疆域
12.2 几何能做的也有限
12.3 数学界的思想解放
第13章 探寻之路
13.1 实数的模型
13.2 混乱的状况
13.3 柯西与极限
13.4 柯西收敛准则
第14章 实数轴的重生
14.1 康托尔的实数模型
14.2 1.000…等于0.999…吗
14.3 坚实的基础
第15章 芝诺悖论的数学终结
15.1 可数无穷集合
15.2 不平凡的可数集
15.3 实数集合不可数
15.4 迟到的荣耀
第16章 给长度一个交代
16.1 长度的数学本质
16.2 升级版长度
16.3 勒贝格测度
第3篇 从局部到整体，微积分的华彩乐章
第17章 分析学的三条路径和一种范式
17.1 从有限到无穷
17.2 从局部到整体
17.3 以简单代替复杂
第18章 归结原则和两个重要极限
18.1第一个重要极限：
18.2 从数列过渡到函数
18.3 第二个重要极限：
18.4 “收敛速度”可以求出来吗
18.5 怎样跑赢通货膨胀
18.6 第二个重要极限的证明
第19章 连续性的陷阱
19.1 狄利克雷函数
19.2 无穷振荡曲线
19.3 不可求长曲线
19.4 魏尔斯特拉斯函数
第20章 微分的前世今生
20.1 切线与微分
20.2 导数：差商的极限
20.3 微分在今天的含义
20.4 导数等于微商吗
第21章 自然的数学法则
21.1 函数ex的特性
21.2 指数函数与等角螺线
21.3 自然界中的等角螺线
21.4 等角螺线与地图投影
第22章 分割的艺术
22.1 黎曼积分
22.2 性质与实用的平衡
22.3 黎曼积分的性质
22.4 可积性判定准则
22.5 勒贝格积分
第23章 微分与积分的统一
23.1 面积如何求导
23.2 变限积分：连续函数的原函数
23.3 牛顿-莱布尼兹公式
23.4 增强版微积分基本定理
23.5 微分中值定理与积分中值定理的统一
第24章 多元函数的世界
24.1 方向导数
24.2 空间直线有斜率吗
24.3 偏导数——方向导数衍生品
24.4 从切线到切平面
24.5 梯度
24.6 积分也有方向
24.7 斯托克斯公式
第4篇 以简单代复杂，微积分的实践之路
第25章 泰勒展开
25.1 微分法
25.2 密切法
25.3 插值法
25.4 幂级数的春天
第26章 傅里叶展开
26.1 最小二乘法
26.2 正交投影法
26.3 三角级数的魅力
第27章 最小作用量原理
27.1 光的折射定律
27.2 笛卡儿的解释
27.3 费马最小时间原理
第28章 最优逼近——泰勒展开的第四张面孔
28.1 局部与整体的再一次拥抱
28.2 最优逼近多项式
28.3 逆矩阵的秘密
28.4 最优逼近多项式的极限
第29章 最佳近似——超定方程组的现实选择
29.1 纯代数的方案
29.2 利用费马定理求极值点的方案
29.3 造福人类的CT技术
第30章 最小损失——人工智能的决策法门
30.1 直线拟合的损失函数
30.2 梯度下降
30.3 梯度下降法的变体
附录
封底
更新时间：2025-03-27 18:35:36
完结共152章
倒序