3.2 一一映射

这种方法的数学原理很简单，它用到了集合及集合之间的一一映射。

集合是高中数学涉及的第一个概念，与矩阵一样，它的定义也十分容易理解。简而言之，集合是由一些确定的且不同对象构成的整体，集合中的每个对象称为集合的元素。例如，｛飞机，大炮，轮船｝是一个集合，｛语文，数学，英语｝是一个集合，｛张三，李四，王五｝也是一个集合，这3个集合都包含了3个元素。

虽然集合的定义非常简单，但是有两个内涵需要明确，一是集合的互异性，二是集合的确定性。集合的互异性是指一个集合中不能出现两个相同的元素，如4个数字的全体｛1,2,2,3｝就不是一个集合，因为这个全体中元素“2”出现了两次。集合的确定性是指一个集合中的元素不管采用描述法还是列举法都必须被明确地规定下来，不能有模棱两可的情况，例如，“我们班的帅哥”这种模糊的说法不能定义一个集合，因为“帅哥”的评判标准因人而异，很难通过数学量化来判定。

数学家通过何种方式研究集合呢？基本方式是构造集合之间的映射。通俗地讲，集合A到集合B的映射是一个对应法则，它把集合A中的每个元素唯一地对应到集合B中的某个元素。如果A中的任意两个元素都不对应B中的同一个元素，那么我们称这个映射为单射；如果B中的每个元素都至少有A中的一个元素与之对应，那么我们称这个映射为满射，既是单射又是满射的映射称为一一映射。图3-1展示了各包含两个元素的集合之间所有可能的映射，其中（c）和（d）是一一映射。

两位贵族先生比较谁更有钱的过程事实上就是在两个集合｛贵族先生A拥有的金币｝和｛贵族先生B拥有的金币｝之间构造映射的过程。不难看出，如果我们能在两个集合之间构造出一个一一映射，这两个集合所包含的元素个数就一样多，两个集合一样大。